Loi d'une variable aléatoire
Bonsoir,
Depuis cet après-midi je n'avance pas.
Contrairement au calcul matriciel je bloque partout sur les probabilités de sup.
Je bloque sur cette notion de loi d'une variable aléatoire.
Je ne comprends pas la preuve de la proposition 9.
Dans le théorème 8, la probabilité est définie sur $\Omega$ alors que pour la loi c'est sur $X(\Omega)$, je ne comprends plus rien.
En plus c'est quoi les évènements élémentaires pour une loi ?
Depuis cet après-midi je n'avance pas.
Contrairement au calcul matriciel je bloque partout sur les probabilités de sup.
Je bloque sur cette notion de loi d'une variable aléatoire.
Je ne comprends pas la preuve de la proposition 9.
Dans le théorème 8, la probabilité est définie sur $\Omega$ alors que pour la loi c'est sur $X(\Omega)$, je ne comprends plus rien.
En plus c'est quoi les évènements élémentaires pour une loi ?
Réponses
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Tu tires un dé équilibré à 6 faces deux fois de suites, tu fais la somme et tu récupères un nombre aléatoire $X$ entre $2$ et $12$.Cela permet de définir une loi de probabilité sur $[2,12]$ (l'ensemble image de ta variable aléatoire $X$), pas sur $\Omega = [1,6]^2$ qui, munit de la probabilité uniforme, est l'univers de départ de ta variable aléatoire.Après, tu peux calculer la probabilité de n'importe quelle partie de $[1,12]$ pour cette loi, par exemple la probabilité que la somme soit un nombre pair, autrement dit, $P_X(\{2,4,6,8,10,12\})$.
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Oui ça je comprends.
Mais je n'ai pas réussi à faire la preuve de la proposition 9.
Dans le théorème $6$ c'est $\Omega$ pas $X(\Omega)$.
Je ne comprends pas pourquoi ils disent que c'est un cas particulier. -
En fait tu ne comprends pas ce qu’est une mesure image.
le thm 6 est valable pour toute probabilité et ce que l’on nomme Loi de X est aussi une probabilité.
Je pense que tu gagnerais du temps à ouvrir un vrai bouquin de probabilité. J’aime beaucoup en première approche le cours de Guy Auliac dans la collection Objectif Licence chez ediscience. Sinon tu as le tome 1 de Ouvrard.
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OShine a dit :
Dans le théorème $6$ c'est $\Omega$ pas $X(\Omega)$.
Je ne comprends pas pourquoi ils disent que c'est un cas particulier.Remplace $\Omega$ par $\Omega'$ dans le théorème 6 (après tout, c'est juste une lettre, rien de plus) et prends $\Omega' = X(\Omega)$ ensuite pour appliquer le théorème 6.Là, tu es juste en train de dire que tu ne sais pas calculer $f(2x)$ si on te donnne $f(x) = \cos x$ pour tout réel $x$... -
Bonjour.
Je bloque encore sur la suite.
Le passage avant la définition 11 je ne comprends pas l'histoire du $X=id_E$.
Aussi je ne vois pas le lien exact entre la définition 11 et le théorème 7.
C'est quoi le lien entre $(X=x)$ et $\{ \omega \}$ ?
Je ne comprends pas comment on utilise le théorème 7 quand on a des variables aléatoires.
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Je ne connais pas cette histoire de distribution de probabilité (cela doit avoir un rapport avec les statistiques). Mais visiblement c'est une probabilité définie sur $E$ (une famille d'éléments de $\mathbb R_+$ indexée par $E$ est une application de $E$ dans $\mathbb R_+$) et je ne vois pas trop l'intérêt de les distinguer. Dès lors, on peut confondre cette probabilité avec la loi de probabilité (qui est elle-même une probabilité) de la variable aléatoire identité définie sur cet univers $E$, qui prend exactement les mêmes valeurs avec les mêmes probabilités.
Je ne vois pas l'intérêt de cette notion pour la définition 11 et le théorème 7 qui suit.
Les spécialistes me corrigeront éventuellement, et fourniront plus d'explications.
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Pour répondre à la question précédente :
Ce qu'on appelle loi d'une variable aléatoire, c'est en fait une probabilité qui porte sur l'univers constitué des valeurs prises par la variable aléatoire. Et la variable aléatoire n'est pas une variable mais une application (pas forcément injective) qui attribue un réel (dans le cas d'une variable aléatoire réelle) à un évènement élémentaire, ce qui permettra de faire des calculs d'espérance de la variable aléatoire, écart-type, ... , qu'on ne pourrait pas faire sur les événements eux-mêmes.
L'univers d'une variable aléatoire $X$ portant sur un univers $\Omega$ est $X(\Omega)$, soit l'ensemble des valeurs prises par l'application $X$.
Un évènement élémentaire pour une variable aléatoire $X$ est un $X=x$ où $x$ est une des valeurs prises par $X$. Sa probabilité est la somme des probabilités des événements élémentaires de $\Omega$ d'image $x$ par $X$.
Avec les variables aléatoires, on déporte les événements d'un univers quelconque vers un univers de réels, et ces réels constituent le nouvel univers sur lequel s'exerce la probabilité des nouveaux événements, que sont les $X = x$ pour $x \in X(\Omega)$ ou les $X \in A$ où $A$ est une partie de $X(\Omega)$.
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@Julia Paule
D'accord merci mais une variable aléatoire peut aussi être à valeurs complexes.
Je n'ai pas compris cette histoire de $X=id_E$.
Je ne comprends pas comment on passe du théorème 7 à la définition 11. -
Comment on passe du théorème 7 à la définition 11.
Réponse n°1 : on s'en fout. Si on veut atteindre le niveau Lycéen ou L1, (ce qui devrait être ton premier objectif), on n'a pas besoin de ça.
Réponse n°2 : tentons de mettre du concret,
J'ai un jeu de 52 cartes, je tire une carte au hasard. Déjà, est ce que je suis dans le bon contexte, peut-on parler d'univers fini, de probabilité uniforme ?
Je peux me poser différentes questions : quelle est la probabilité de tirer l'as de coeur ? Quelle est la probabilité de tirer un carreau ?
Quand on transpose ces questions avec le jargon du théorème 7... ça donne quoi ? c'est quoi un élément $\omega$, c'est quoi un événement $A$ ?
Et si on transpose ces questions avec le jargon de la définition 11, ça donne quoi ?
Quels sont les mots qu'on voit dans la définition 11 ... on voit ensemble $E$
Et dans le théorème 7, on ne parle plus d'ensemble $E$, on parle d'Univers ... mais en gros, en première approche, ce qu'on appelle ensemble dans un cas, on l'appelle univers dans l'autre.
A toi de voir si cette première approche te suffit, ou si tu veux comprendre pourquoi les matheux utilisent 2 mots différents.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Oui la variable aléatoire $X$ définie sur $E$ de la définition 11 n'est pas à valeurs réelles.Après pour comprendre, il me semble qu'il suffit de retranscrire formellement (avec les applications, les flèches, etc ...) les définitions et les théorèmes (qui sont tous immédiat), je t'invite à le faire.Dans tous les cas, on ramène une probabilité sur un univers $E$ à une loi de probabilité sur une variable aléatoire (histoire de, cela doit avoir un intérêt qui m'échappe, EDIT : c'est peut-être pour définir une loi uniforme (déf 11) à partir d'une probabilité uniforme (th 7)).
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Comme Julia, je pense que ce jargon n'est pas totalement nécessaire.
Si on me demande de calculer l'aire d'un disque... ou la surface d'un disque... il y a un des 2 mots qui est convenable et pas l'autre. Ok.
Moi, je me fous de savoir (dans un premier temps) si le bon mot est aire ou surface, et je sais que la formule est $\pi r^2$ ;
Là, on nous explique que le bon mot est ceci, ou cela ... mais si derrière, on ne sait pas calculer l'aire d'un disque..., toutes ces considérations sur les bons mots sont un peu superflues.
Pour l'instant, OShine, tu ne connais pas les formules basiques comme $S=\pi r^2$ ... donc savoir quels noms sont plus adaptés que les autres, ça viendra plus tard.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Je pense savoir ce n'est pas ce qui me bloque.hx1_210 a dit :@OShine qu’est-ce qu’une probabilité ?
qu’est ce que la loi d’une variable aléatoire?
C’est cela que tu ne comprends pas.
Je ne comprends pas le $X=id_E$.
D'ailleurs comprendre le passage du théorème 7 à la définition 11 est crucial pour comprendre l'exercice 29.17.
J'ai lu le corrigé et je ne comprends pas la solution car je ne comprends pas le cours. -
Pourquoi dans la définition 11 ils n'expliquent pas comment calculer $P(A)$ comment dans le théorème $7$ ?
-
Salut OS, pour le $X=id_E$, quelle est la déf du concept de "variable aléatoire" dans le livre que tu étudies?
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Salut @OShine
Lorsque tu lances un dé $\Omega$ correspond à ceci :
L'univers image est $X(\Omega)= \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}$, c'est-à-dire que tu associes à chaque face \og la\fg valeur numérique qui correspond au nombre de point(s) blanc(s) obtenus sur la face supérieure.
$X=Id$ lorsque d'emblée, ton univers est décrit comme $ \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}$.
Jean-éric. -
@NicoLeProf il m’a dit avoir compris.
Moi je ne pense pas. Ce qui est normal parce que ce n’est pas une notion facile quand on n’a pas suivie un cours de théorie de la mesure. -
Et pour faire plaisir aux nostalgiques des mathématiques modernes
l’extrait de l’aleph0 première C sur la loi d’une variable aléatoire.
L’occasion de rappeler que le contenu de ces bouquins est hallucinant.
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La voici.NicoLeProf a dit :Salut OS, pour le $X=id_E$, quelle est la déf du concept de "variable aléatoire" dans le livre que tu étudies?
Dans le cours de sup tous les ensembles sont finis.
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OShine a dit :Pourquoi dans la définition 11 ils n'expliquent pas comment calculer $P(A)$ comment dans le théorème $7$ ?Peut-être parce que $P(A)$ n'a aucun sens dans cette définition.Par contre, n'importe quel collégien ou lycéen moyen sait que si on lance un dé équilibré à 6 faces et que l'on note le résultat $X$ (loi uniforme sur $[1,6]$), alors pour toute partie $A$ de $[1,6 ]$, on a $P(X\in A) = \dfrac{card A}{6}$.
-
Ok maintenant, je peux répondre à ta question OS mais c'est délicat les probas, il faut bien manipuler les défs calmement et comprendre les notations et l'abstraction qu'il y a derrière sans juste lire.Soit $(p_x)_{x \in E}$ une distribution de probabilités sur un ensemble fini $E$.On définit un univers noté $\Omega$ tel que $\Omega:=E$ muni de la probabilité définie par $(p_x)_{ x \in E}$ (ce qui a du sens d'après le théorème 6).Soit $X$ la variable aléatoire telle que $X:=id_E$. La variable aléatoire $X$ est donc l'application de $E$ à valeurs dans $E$ qui à tout élément $x$ de $E$ associe $x$.Par suite, d'après la proposition 9, on obtient directement pour tout $x \in E$, $\mathbb P(X=x)=p_x$.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
-
@OShine
le cours dans l’aleph0 n’utilise pas la théorie de la mesure. Et dans le cas discret les deux autres non plus car les événements sont les parties de l’univers et une application de l’univers dans $\mathbb{R}$ est mesurable.
Une probabilité est la loi de probabilité de $Id:\Omega \rightarrow \Omega$.
Il y a un abus de notation qu’il te faut apprendre à manipuler.
Lis le bas de la page 44 du Barbe Ledoux et remplace $X$ par $Id$.
Et j’ai déjà eu l’occasion de te le dire, tu es professeur, tu sais que le programme n’est pas l’espace ideal pour apprendre une notion.
Si tu veux apprendre les lois probabilités, il te faut comprendre ce qu’est une mesure image et surtout comprendre qu’une probabilité est une mesure qui charge plus ou moins certaines parties de l’univers. Mes troisièmes y parviennent donc tu vas y arriver aussi.
Ne prends pas peur, comme dis plus haut dans le cas discret il n’y a pas de problème pour définir les événements et la mesurabilité.
Voici un exemple simple. Je joue à pile ou face.Décris l’univers.
Définis par un tableau une distribution de probabilité sur cet univers
De quelle variable aléatoire de l’univers dans l’univers cette distribution de probabilité est-elle la loi?
Maintenant je définis une variable aléatoire réelle $X$ : si j’obtiens pile je marque 1 point si j’obtiens face je marque 2 points.
Définis par un tableau la loi de $X$.
Note bien que la distribution c’est la mesure de Dirac qui décris ta probabilité. -
Oui mais le $p_x$ est abstrait je n'aime pas trop l'utiliser.NicoLeProf a dit :Ok maintenant, je peux répondre à ta question OS mais c'est délicat les probas, il faut bien manipuler les défs calmement et comprendre les notations et l'abstraction qu'il y a derrière sans juste lire.Soit $(p_x)_{x \in E}$ une distribution de probabilités sur un ensemble fini $E$.On définit un univers noté $\Omega$ tel que $\Omega:=E$ muni de la probabilité définie par $(p_x)_{ x \in E}$ (ce qui a du sens d'après le théorème 6).Soit $X$ la variable aléatoire telle que $X:=id_E$. La variable aléatoire $X$ est donc l'application de $E$ à valeurs dans $E$ qui à tout élément $x$ de $E$ associe $x$.Par suite, d'après la proposition 9, on obtient directement pour tout $x \in E$, $\mathbb P(X=x)=p_x$.
Il faut démontrer que $(X=x) = \{ w \}$.
$(X=x)=(Id_E =x)= \{ w \in E \ , \ w=x \}= \{x \}$.
On est ramené à un singleton on est bien dans le cas du théorème 6.
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Intéressant merci.jean-éric a dit :Salut @OShine
Lorsque tu lances un dé $\Omega$ correspond à ceci :
L'univers image est $X(\Omega)= \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}$, c'est-à-dire que tu associes à chaque face \og la\fg valeur numérique qui correspond au nombre de point(s) blanc(s) obtenus sur la face supérieure.
$X=Id$ lorsque d'emblée, ton univers est décrit comme $ \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}$.
Jean-éric. -
En fait je ne comprends pas.
On prend $X=id_E$ mais après dans la définition $X$ n'est plus forcément égal à l'identité.
Je crois que je ne comprends toujours rien. -
OShine a dit :
Je crois que je ne comprends toujours rien.Laisse tomber le préambule. Il est juste là pour signaler que pour chaque famille finie de réels positifs de somme $1$, il existe au moins un espace probabilisé et une variable aléatoire suivant la loi prescrite (par exemple, la loi uniforme, ou la loi binomiale).En pratique, on s'en fiche. La définition 11 est parfaitement autonome et n'a pas besoin du blabla qui précède. -
D'accord @JLapin et merci. Je pressentais quelque chose comme ça, du blabla qui sert juste à dire que cette évidence existe. D'ailleurs je ne vois pas ce qui s'en rapproche dans la théorie de la mesure (d'après mes souvenirs).
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$\Omega= \{ P, F \}$.hx1_210 a dit :@OShine
le cours dans l’aleph0 n’utilise pas la théorie de la mesure. Et dans le cas discret les deux autres non plus car les événements sont les parties de l’univers et une application de l’univers dans $\mathbb{R}$ est mesurable.
Une probabilité est la loi de probabilité de $Id:\Omega \rightarrow \Omega$.
Il y a un abus de notation qu’il te faut apprendre à manipuler.
Lis le bas de la page 44 du Barbe Ledoux et remplace $X$ par $Id$.
Et j’ai déjà eu l’occasion de te le dire, tu es professeur, tu sais que le programme n’est pas l’espace ideal pour apprendre une notion.
Si tu veux apprendre les lois probabilités, il te faut comprendre ce qu’est une mesure image et surtout comprendre qu’une probabilité est une mesure qui charge plus ou moins certaines parties de l’univers. Mes troisièmes y parviennent donc tu vas y arriver aussi.
Ne prends pas peur, comme dis plus haut dans le cas discret il n’y a pas de problème pour définir les événements et la mesurabilité.
Voici un exemple simple. Je joue à pile ou face.Décris l’univers.
Définis par un tableau une distribution de probabilité sur cet univers
De quelle variable aléatoire de l’univers dans l’univers cette distribution de probabilité est-elle la loi?
Maintenant je définis une variable aléatoire réelle $X$ : si j’obtiens pile je marque 1 point si j’obtiens face je marque 2 points.
Définis par un tableau la loi de $X$.
Note bien que la distribution c’est la mesure de Dirac qui décris ta probabilité.
Le reste je ne comprends pas les questions. -
L'existence de la mesure de Lebesgue est un résultat d'existence non trivial et assez utile tout de même... Bon, rien à voir avec ce préambule en terme de complexité
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Tu comprends ce blabla ?Julia Paule a dit :D'accord @JLapin et merci. Je pressentais quelque chose comme ça, du blabla qui sert juste à dire que cette évidence existe. D'ailleurs je ne vois pas ce qui s'en rapproche dans la théorie de la mesure (d'après mes souvenirs).
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Dans la définition 11, $X$ c'est l'identité $Id_E$ ?
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OShine a dit :Dans la définition 11, $X$ c'est l'identité $Id_E$ ?Si tu lisais les messages au lieu de geindre, tu verrais que j'ai déjà répondu.JLapin a dit :Laisse tomber le préambule. Il est juste là pour signaler que pour chaque famille finie de réels positifs de somme $1$, il existe au moins un espace probabilisé et une variable aléatoire suivant la loi prescrite (par exemple, la loi uniforme, ou la loi binomiale).En pratique, on s'en fiche. La définition 11 est parfaitement autonome et n'a pas besoin du blabla qui précède.
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OShine a dit :
Et deux issues, ce n'est pas "plusieurs issues" ? A combien commence "plusieurs" du coup ?
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@JLapin ok, c'est donc pour pallier au fait qu'on n'a pas défini la mesure de Lebesgue.@O'Shine, non je ne comprends pas ce blabla, surtout qu'on n'a pas tout le texte ; il faudrait expliciter les définitions, les applications et les théorèmes, ce qui permettrait éventuellement de comprendre l'intérêt, j'ai pas trop envie. Je pense que tu as mieux à faire, JLapin a donné l'explication.
-
Je ne vois pas d'explication de @JLapin mis à part de laisser tomber, je ne comprends pas pourquoi on prend $X=id_E$.
Je voulais dire expériences à plusieurs épreuves comme en classe de 3e.
@Julia Paule
Je n'ai pas mieux à faire je bloque partout sur ce chapitre, la page suivante j'ai encore un blocage et les exos pareil je bloque même sur les corrigés.
Si je passe à chaque fois que je bloque mieux vaut abandonner ce chapitre.
-
Non. Pas abandonner ce chapitre.
Tu prends un cours de lycée. Tu le bosses bien.
Tu fais les exercices. Sérieusement.
Tu laisses dormir 3 mois.
Dans 3 mois, tu reprends un cours de lycée. Eventuellement le même. Ou tu prends des fiches d'exercice de lycée. Tu refais les exercices. Selon que tu galères, ou que tu les fais facilement, tu vois comment avancer.
Là, tu refais comme en juin. Tu lis des trucs qui te dépassent complètement. Même si tu finis par vaguement comprendre, de toutes façons, dans 3 mois, tu auras TOUT oublié. TOUT.
La mémoire n'enregistre que les trucs qui sont bien clairs, bien assimilés.
Et encore 3 mois plus tard ... rebelote... Tu avances dans le programme ; lycée, puis L1, puis L2 ... Un niveau tous les 3 mois si tu vas vite.
Et peut-être qu'à un moment, tu pourras reprendre ce bouquin/ce chapitre.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@Julia Paule
Les théorèmes et définitions ont été mis plus haut.
P F
1/2 1/2
Une distribution de probabilités est $(1/2,1/2)$.
De quelle variable aléatoire est-elle la loi ?
Je bloque ici.
-
@lourrran
Si j'ai réussi à comprendre et suivre un livre entier de théorie des groupes niveau L3 c'est que je peux réussir à comprendre ce chapitre de MPSI.
Les probabilités de prépa ce n'est pas plus dur que la théorie des groupes à mon avis.
Par contre les livres de proba de @hx1_210 sont clairement hors de portée et trop difficile pour moi, je vois des boréliens, mesures de Dirac etc...
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Je n'ai pas dit le contraire.
Je dis que pour comprendre le cours niveau L3 du chapitre A, il faut d'abord comprendre et avoir PARFAITEMENT mémorisé le cours niveau L2 du même chapitre. Et PARFAITEMENT avoir compris le cours niveau L1 du même chapitre.
Tu dis : au saut à la perche , je sais passer 5mètres, donc passer 2mètres au saut en hauteur, je vais y arriver.
Peut-être.
Est-ce que aujourd'hui, tu sais passer 1m10 au saut en hauteur ? NON.
Donc apprend à passer 1m10. Puis 1m20.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
J'ai déjà étudié le cours de probabilités de MPSI l'année de mon capes.
Ce sont des choses que j'ai déjà vues normalement.
Sauf que dans la nouvelle édition ils ont compliqué quelques passages comme celui-ci avec le $X=id_E$.
Dans l'ancienne version la définition de la loi uniforme était donnée directement.
La notion de distribution de probabilités n'était pas abordée non plus dans l'ancienne version.
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