Chemins dans C qui ne se coupent pas

gillesR

Bonjour,
Voilà une question dont la réponse me parait évidente (au pire faire un dessin) mais que je n'arrive pas à démontrer rigoureusement:
Etant donnés n points dans le plan complexe deux à deux distincts: p1, p2, ..., pn, puis n autres points deux à deux distincts q1, q2, ..., qn.
Il s'agit de montrer qu'il existe n chemins continus qui relient p1 à q1 pour le premier chemin, puis p2 à q2 pour le deuxième... etc jusqu'à pn relié à qn et surtout sans jamais qu'ils se coupent sauf aux extrémités éventuellement car un p_i peut être égal à un q_j (si on autorise qu'ils se coupent la réponse est triviale).
Voilà...

Domi

Bonjour
En général si on se donne 2n points , p1 , q1 , p2 , q2 , ... , pn , qn , on peut tracer un chemin simple reliant les points dans cet ordre ( cet évident par récurrence ) . Il suffit de supprimer les liens q1p2 , q2p3 , ... pour répondre à ta question .
Domi 

gillesR

Bonsoir,
Merci pour ta réponse. Mais je ne trouve pas cela si évident. La récurrence se ramène à prouver que si on a un chemin simple dans C alors on peut relier une extrémité de ce chemin à n'importe quel point de C privé du chemin. Autrement dit il faudrait justifier que C privé du chemin est connexe par arcs. Cela ne me parait pas si trivial. Ou alors il y a un truc que je ne vois pas...

Georges Abitbol

Démontrer que $\mathbb{C}$ privé de l’image d’un chemin simple est connexe par arcs, c’est vrai que c’est un peu difficile en toute généralité. Mais quitte à approximer le chemin, tu peux toujours supposer que c’est un chemin affine par morceaux. Là, c’est déjà plus facile, je pense.

gillesR

Merci pour ta réponse. C'est bien ce qu'il me semblait (que ce n'est pas si simple). Apporter une preuve rigoureuse me semble loin d'être évident. J'ai l'impression que le chemin affine par morceau ne simplifie pas les choses tant que ça. Je n'ai malheureusement pas de piste pour avancer. C'est un peu un analogue du théorème de Jordan : un truc qui parait évident mais qui nécessite une démo longue et difficile.

Domi

Je ne pense pas que la démonstration soit vraiment pénible mais je n'ai pas trop le courage de la rédiger complètement . On a un point C et une ligne polygonale simple [AB] . On peut choisir la ligne [AB] de façon à ce qu'elle ne passe pas par C . On trace une droite passant par C en direction de [AB] et on s'arrête à une distance $\varepsilon$ de la ligne . On suit la ligne en restant à une distance $\varepsilon$ de cette ligne et en direction de B . Comme le nombre de sommets de la ligne est fini on peut choisir $\varepsilon$ de façon à ce que ce tracé ne rencontre jamais la ligne [AB] . On fini le tracé en le reliant à B .
Domi

gillesR

Oui, merci. Très bonne idée. Ca ne me semble pas évident de rédiger ça rigoureusement mais l'idée me semble correcte. Mais en fait, pas besoin de s'embêter avec une ligne polygonale. Il suffit de prendre le chemin de base et de considérer une sorte de gaine de rayon epsilon autour du chemin. Comme tu le dis, on suit le chemin dans la gaine (sans le couper bien sûr) d'une extrémité de celui-ci jusqu'à arriver à un point où on peut aller vers C en ligne droite (ce qui est forcément possible en considérant une boule ouverte de centre C dont le rayon est la distance de C au chemin moins epsilon/2. Le chemin étant un fermé (compact en fait) du plan complexe, le complémentaire est ouvert d'où l'existence de la boule centrée en C). 

Domi

Je cherchais quelque chose de facile à formaliser , on peut à la limite choisir des chemins dont les tronçons sont parallèles aux axes de coordonnées , les arguments deviennent alors très simples : on est assez loin du théorème de Jordan .
Domi 

gillesR

Oui bonne idée. Ca doit être relativement simple avec des chemins dont les tronçons sont parallèles aux axes, comme tu le dis.
Merci.