Ecriture binomiale d'un entier

Calembour

Théorème : 
Soit $n \ge 0$ un entier naturel. Alors pour tout $p \ge 1$ entier, il existe une unique suite de $p$ entiers $b_1, b_2, ..., b_p$ telle que :

1. $0 \le b_1 < b_2 < ... < b_p$
2. $n = \binom{b_1}{1} + \binom{b_2}{2} + ... + \binom{b_p}{p} $

Ma question : Est-ce qu'il serait possible d'obtenir une formule close des entiers $b_1, b_2, ... b_p$ en fonction de $n$ ?

Voici quelques cas particuliers :
Cas $p = 1$ :
Pour le cas où $p = 1$, on a $b_p = b_1 = n$.

Cas $p = 2$ :
Pour le cas où $p = 2$, on a l'équation : 
$$n = \binom{b_1}{1} + \binom{b_2}{2} $$

On prend pour $b_2$ le plus grand entier tel que $n \ge  \binom{b_2}{2} $ car comme $b_2 > b_1$ on a tout intérêt à la prendre le plus grand possible pour $b_2$ et ensuite on aura $b_1 = n - \binom{b_2}{2}$

On trouve donc :
$$ b_2 = \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 8n}}{2} \rfloor $$
$$ b_1 = n - \binom{ \lfloor \frac{1 + \sqrt{1 + 8n}}{2} \rfloor }{2} $$

sauf erreur

Calembour

depasse

Bonjour,
@Calembour, éternelle question: quelles fonctions sont autorisées dans la formule close de tes rêves? Pour l'heure je vois la racine carrée et la partie entière dans ta solution. En acceptes-tu d'autres et, si oui, lesquelles?
Cordialement
Paul

Calembour

depasse a dit :

Bonjour,
@Calembour, éternelle question: quelles fonctions sont autorisées dans la formule close de tes rêves? Pour l'heure je vois la racine carrée et la partie entière dans ta solution. En acceptes-tu d'autres et, si oui, lesquelles?
Cordialement
Paul

Bonjour,

Oui j'accepte n'importe quel type de fonction. Ca pourrait être des fonctions définies par des intégrales ou des séries par exemple

depasse

Bonjour
Si l'alphabet est $\mathbb N$ et les mots sont les suites finies strictement décroissantes, alors ton $b_1b_2....b_p$ est le "reverse" du $n+1$ ième mot du dictionnaire des $p-$mots. Sauf erreur, comme d'hab.

Calembour

depasse a dit :

Bonjour
Si l'alphabet est $\mathbb N$ et les mots sont les suites finies strictement décroissantes, alors ton $b_1b_2....b_p$ est le "reverse" du $n+1$ ième mot du dictionnaire des $p-$mots. Sauf erreur, comme d'hab.

Je n'est pas vraiment compris ce que tu as dit.
Peux-tu préciser ce que tu appelles "reverse" ? "dictionnaire des p-mots" ?

depasse

Bonsoir @Calembour
le "reverse"  d'un .mot est ce mot écrit à "l'envers"
1)exemple avec l'alphabet français: le "reverse" de acab:=a.c.a.b est $baca$.
2)exemples avec l'alphabet $\mathbb N$:le "reverse" de 1.7.8.9  est $9.8.7.1$, celui de 17.8.9 est $9.8.17$, celui de $178.9$ est 9.178.

Ici, un p-mot est une suite finie strictement décroissante de $p$ entiers naturels.
Exemples: $17.9.8$ est un $3$-mot, $17.8.9$ n'existe pas, $179.8$ et $178.9$ sont des $2$-mots,$1789$ et $1798$ sont des $1$-mot.

Le dictionnaire des $p$-mots est la suite des $p$-mots dans l'ordre alphabétique.
Exemple: les premiers mots du dictionnaire des $3$-mots sont:
$2.1.0, 3.1.0, 3.2.0, 3.2.1, 4.1.0, 4.2.0, 4.2.1, 4.3.0, 4.3.1, 4.3.2, 5.1.0, 5.2.0 ...$

Calembour

ok merci pour ces explications !

je vais essayer d'éclaircir ce lien entre cette décomposition binomiale et ces suites de p-mots dès que possible