S'exercer aux formules trigonométriques

Dr_Piradian

Bonjour, j'ai beaucoup de mal à manipuler des calculs dans lesquels apparaissent des cosinus et sinus afin de les transformer en expressions équivalentes.

Est-ce que vous connaissez de bon ouvrages (sur papiers ou sur le net) qui proposent un bon entraînement avec exercices CORRIGÉS afin de devenir fort dans la manipulation des formules trigonométriques.

Merci.

Mathematicaidf

Bonsoir, je ne sais s'il y a des ouvrages spécifiques. Selon, il y a deux manières possibles de travailler cela : 

- chercher les démonstrations de chaque formule et demander de l'aide ici pour comprendre l'idée directrice en fonction des formules

- les apprendre par coeur pour automatiser l'écriture

Dr_Piradian

Merci.

Mieses

Bonjour, dans le Tome 1 Géométrie de Marcel Berger tu as des formulaires intéressants (trigonométrie et triangle). Les formules ne sont pas démontrées mais comme le dit Mathematicaidf il est nettement plus formateur de les chercher soi-même. Tu peux aussi créer ton propre formulaire au fur et à mesure.

Foys

Si vous êtes sur une île déserte et ne vous rappelez de rien, il y a au moins la formule d'Euler $\cos(\theta) + i \sin (\theta) = \exp(i\theta)$ valable pour tout nombre réel $\theta$ (et même pour tout nombre complexe quoique ceci n'est pas au programme du lycée, je le cite juste pour l'anecdote; ça ne sera pas utilisé dans ce qui va suivre).

Combinée avec la formule $\exp(x)\exp(y) = \exp (x+y)$ (valable pour tous les nombres complexes $x$ et $y$), cette formule permet de retrouver toutes les autres.

Exemple: soient $x,y$ réels. alors $$\begin{align} \cos(x+y) + i \sin(x+y) = \exp(i(x+y)) & = \exp(ix)\exp(iy) = \left [\cos(x)+i\sin(x) \right] \left [ \cos (y) + i \sin(y)\right ]\\  & = \cos(x)\cos(y) - \sin (x)\sin(y) + i [\cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x)] \end{align}$$

On obtient alors par identification les égalités suivantes (quand deux nombres complexes sont égaux leurs parties réelles et imaginaires respectives le sont aussi)

$\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin (x)\sin(y)$

$\sin(x+y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x)$.

Calembour

Bonsoir,

En parlant de formules trigonométriques, je sais qu'il existe des formules spéciales de trigonométrie lorsqu'on se place dans un triangle, par exemple ce type de formule avec $x + y + z = \pi$ : 

$$ \mathrm{tan}(x) + \mathrm{tan}(y) + \mathrm{tan} (z) = \mathrm{tan} (x) \mathrm{tan}( y) \mathrm{tan} (z) $$

Je ne sais pas si ça vous parle, mais je trouve ces formules très intéressantes et on les retrouve rarement dans les formulaires de trigonométrie usuels, d'ailleurs même sur internet, c'est compliqué de retrouver ne serait-ce que l'énoncé de ces formules

Mieses

Cette formule est justement dans le Berger avec aussi les formules pour les sommes de 3 sinus et de 3 cosinus.

Une formule que l'on ne voit pas souvent et qui peut avoir son utilité : $\cos a + \sin a = \sqrt{2} \cos \left( a - \frac{\pi}{4} \right)$.

Calembour

Mieses a dit :

Cette formule est justement dans le Berger avec aussi les formules pour les sommes de 3 sinus et de 3 cosinus.

Une formule que l'on ne voit pas souvent et qui peut avoir son utilité : $\cos a + \sin a = \sqrt{2} \cos \left( a - \frac{\pi}{4} \right)$.

Formule intéressante pour résoudre des équations trigonométriques (pour se ramener à la forme cos(x) = cos(a) si on a une somme de sinus et cosinus)

lourrran

Cette formule est une variante de $\tan(x+y)= \frac{\tan(x)+\tan(y)}{1- \tan(x) \tan(y) }$

Pour la question initiale de Dr_Piradian, je pense que les exercices avec Corrigé ne sont pas des bons outils.

Dans ces histoires de formules trigo, la difficulté est où  ? 
Il faut mémoriser la formule à l'endroit : $\sin(x+y) = $...
Il faut mémoriser la formule à l'envers : $\sin(x) \cos(y)+\cos(x) \sin(y) = $...
Et il faut voir dans un exercice quelle formule pourrait bien aider à simplifier le machin.

Le corrigé, il va donner la réponse finale. Mais le processus de recherche, la démarche qui va permettre de se dire, tiens, si je factorise et si je regroupe tels termes, je fais apparaître un truc du genre $\sin(x) \cos(x)+\cos(x) \sin(y)  $  et je vais pouvoir le remplacer par $\sin(x+y)$ ... tout ça, ce n'est pas via les corrigés que ça se travaille.

Math Coss

lourrran a dit :

Cette formule est une variante de...

Comme l'a déjà dit @Foys, toutes les formules sont peu ou prou des variantes de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x+y)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}$...

JLapin

Dr_Piradian a dit :  

Est-ce que vous connaissez de bon ouvrages (sur papiers ou sur le net) qui proposent un bon entraînement avec exercices CORRIGÉS afin de devenir fort dans la manipulation des formules trigonométriques.

Tu pourrais étudier ce pdf par exemple.
http://www.msa.bginette.com/MSA/TS-01-Trigo.pdf

Dr_Piradian

Merci pour le pdf.