calcul de la somme d'une série
Bonjour à tous,
J'ai devant moi un exercice devant lequel je ne vois pas trop comment démarrer. Il s'agit de calculer la somme pour $x>1$ : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2^{n}}}{\prod_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)}$$
J'ai pensé à décomposer les termes en fractions rationnelles à l'aide de
racines nièmes de l'unité mais je me demande par quel miracle tout ceci
se simplifierait, j'ai cru remarquer une relation sympa en posant u=1/x
mais elle ne m'avance pas à grand chose. Bref, je sèche honteusement.
Quelqu'un aurait une piste pour démarrer ?
Réponses
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Tu as essayé l'équation fonctionnelle? ($f(x^2)$ s'exprime à l'aude de $f(x)$ pour tout $x>1$).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour,
Tu peux chercher un téléscopage plus ou moins astucieux. -
le produit au dénominateur est $\frac{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}$ et cela permet de calculer Sn par récurrence
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Foys j'arrive à $$S\left(x^{2}\right)=\left(1+x\right)S\left(x\right)-x$$Bibix : j'ai initialement cherché dans cette voie sans succès. Peut-être en utilisant l'indication de Foys qui m'a l'air bien sympa.
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$S_n=x \frac{(x^{2^{n+1}-1}-1)}{x^{2^{n+1}}-1}$
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Merci beaucoup lale, bibix et Foys
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Si si Bibix ! J'ai honte
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Bonjour!
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