calcul de la somme d'une série

troisqua
Modifié (September 2024) dans Analyse
Bonjour à tous,
J'ai devant moi un exercice devant lequel je ne vois pas trop comment démarrer. Il s'agit de calculer la somme pour $x>1$ : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2^{n}}}{\prod_{k=0}^{n}\left(1+x^{2^{k}}\right)}$$
J'ai pensé à décomposer les termes en fractions rationnelles à l'aide de racines nièmes de l'unité mais je me demande par quel miracle tout ceci se simplifierait, j'ai cru remarquer une relation sympa en posant u=1/x mais elle ne m'avance pas à grand chose. Bref, je sèche honteusement.
Quelqu'un aurait une piste pour démarrer ?




Réponses

  • Tu as essayé l'équation fonctionnelle? ($f(x^2)$ s'exprime à l'aude de $f(x)$ pour tout $x>1$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonjour,
    Tu peux chercher un téléscopage plus ou moins astucieux. 
  • le produit au dénominateur est $\frac{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}$ et cela permet de calculer Sn par récurrence
  • troisqua
    Modifié (September 2024)
    Foys j'arrive à $$S\left(x^{2}\right)=\left(1+x\right)S\left(x\right)-x$$
    Bibix : j'ai initialement cherché dans cette voie sans succès. Peut-être en utilisant l'indication de Foys qui m'a l'air bien sympa.

  • $S_n=x \frac{(x^{2^{n+1}-1}-1)}{x^{2^{n+1}}-1}$
  • Merci beaucoup lale, bibix et Foys :)
  • @troisqua Tu ne vois pas $$\frac{a_n}{\prod_{k=1}^n (1+a_k)} = \frac{1}{\prod_{k=1}^{n-1} (1+a_k)} - \frac{1}{\prod_{k=1}^n (1+a_k)}$$ ? Après, on utilise $\prod_{k=0}^n (1+x^{2^k}) = \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} x^k$ et tout roule. Mais au final, ça revient à ce qye proposait lale.
  • Si si Bibix ! J'ai honte :)
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