Tirages successifs avec remise

OShine

Bonsoir,

Une urne contient $N$ boules de $k$ couleurs : $N_1$ de couleur $c_1$, $N_2$ de couleur $c_2$ , ... , $N_k$ de couleur $c_k$ on a donc $N_1+ \cdots + N_k=N$.
On tire $n$ boules et l'on cherche la probabilité d'obtenir exactement $n_1$ boules de couleur $c_1$, $n_2$ boules de couleur $c2$ , ... , $n_k$ de couleur $c_k$ où $n_1+ \cdots +n_k=n$.
Déterminer $p$ dans le cas d'une tirage simultané et dans le cas de tirages successifs avec remise.

Je n'arrive pas à comprendre comment fonctionne le tirage avec remise.
Je bloque sur le corrigé de cet exo de sup depuis hier je n'arrive pas à m'en sortir seul.
Je n'arrive pas à comprendre le nombre de répartitions possibles des tirages des différentes couleurs pourquoi c'est cette formule. 
J'ai essayé plusieurs cas avec des exemples mais je bloque toujours, j'ai dû passer 2 heures dessus ça m'énerve.
Je ne comprends pas.

plsryef

he hé.. tu vas vite en besogne, tu dois d'abord te justifier d'un décalage d'indice dans un autre fil, attention, ils veillent. (je sais qu'ils sauront t'expliquer avant de faire semblant de te prendre de haut, seriez-vous de mèche ?.)

Sinon la formule du multinôme est ton amie.

lourrran

Si tu ne comprends pas le principe de tirage avec remise, commence avec des situations plus simples.

Comme d'habitude ... commencer simple et avancer pas à pas.  C'est la règle. 
Au saut en hauteur, on saute 1m, puis 1m10 puis 1m20 ... et on regarde : ok jusqu'à quelle hauteur je sais sauter. 
On n'essaie pas de sauter 2m si on n'a pas vérifié d'abord qu'on savait sauter 1m10.

Ici, on a k couleurs, plein de nombres avec des indices. Très compliqué pour quelqu'un qui ne comprend pas le concept de tirage avec remise.

Donc on commence par le début.
Une urne contient 5 boules, 3 blanches et 2 rouges.
On tire 4 boules, quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 boules rouges ? D'une part dans le cas de tirage sans remise, d'autre part dans le cas de tirage avec remise.
Si tu sais répondre à cet exercice, tu compliques un peu ...  Tu ajoutes une autre couleur ...
Et quand tu bloques, tu reviens sur ce forum en disant ; voilà ... l'exercice de lourrran, je sais faire, mais je ne sais plus faire quand on a 3 couleurs...

  

Héhéhé

Essaye avec $k=2$ et des petites valeurs de $n$.

Julia Paule

Bonjour @O'Shine. Dans le cas d'un tirage avec remise, on se retrouve à chaque fois dans la même situation de l'urne (avec toutes ses boules).

Pour faciliter le calcul de la probabilité, on suppose implicitement que toutes les boules sont différenciées : par exemple non seulement elles ont une couleur, mais en plus elles ont un numéro (qu'on n'utilisera pas). Cela ne changera rien au résultat puisqu'il ne porte que sur les couleurs des boules. Alors tous les tirages de boules différenciées sont par hypothèse équiprobables (c'est le grand avantage) : la probabilité cherchée est le nombre de tirages favorables / nombre de tirages possibles (de boules différenciées pour les deux).

Alors pour tirer $n_1$ boules différenciées de couleur $c_1$, $n_2$ boules différenciées de couleur $c_2$, etc ...  :

Nombre de tirages possibles : il y a $N$ boules et on fait $n$ tirages, cela fait $N^n$ tirages possibles de boules différenciées (là tu te rends bien compte que si on n'a pas différencié les boules, i.e. si on ne considère que leur couleur, il y a beaucoup moins de tirages possibles, mais c'est certainement plus compliqué de les dénombrer, et cela ne servirait à rien car les tirages ne seraient alors plus équiprobables)

Nombre de tirages favorables : 

- pour un ordre donné de tirage favorable, par exemple $1$ boule de couleur $c_2$, puis $3$ boules de couleur $c_1$, puis de nouveau $2$ boules de couleur $c_2$, etc... , le nombre de tirages favorables de boules différenciées est $N_2 N_1^3 N_2^2 \cdots$ en obtenant au total $n_i$ boules de couleur $c_i$ tirées $1 \leq i \leq k$ : quelque soit l'ordre des tirages, le nombre de tirages favorables pour cet ordre est $N_1^{n_1} \cdots N_k^{n_k}$.

- seulement c'est plus que ça, car un tirage favorable peut se faire dans n'importe quel ordre ; tous les ordres possibles sont la manière de choisir l'emplacement de $n_1$ boules parmi les $n$ tirées, puis il en reste $n_2$ à placer parmi les $n-n_1$ emplacements restants, etc ... .

On multiplie alors le nombre de tirages favorables possibles pour un ordre donné par le nombre d'ordres possibles (puisque le nombre de tirages favorables est à chaque fois le même quelque soit l'ordre).

J'espère que cela t'aidera.

OShine

Héhéhé a dit :

Essaye avec $k=2$ et des petites valeurs de $n$.

J'ai essayé mais je n'ai pas réussi à comprendre.
Je suis resté 3 jours bloqué sur le corrigé et au moins 3-4 heures, je n'avance pas.

lourrran

C'est simple. C'est toujours la même chose : décomposer un truc compliqué en étapes simples.

Etape 1) en quelle classe on rencontre des exercices avec des tirages avec ou sans remise pour la première fois ?
Etape 2) Prendre un livre de cours correspondant à cette classe, prendre un livre d'exercice correspondant à cette classe, et bosser.
Etape 3) Si tu ne comprends pas les cours où on explique les tirages avec remise pour la première fois, tu postes des questions sur ce forum, sur la base de ces cours ou de ces exercices d'initiation.

Là, tu nous refais le coup pour la 100ème fois : je n'arrive pas à sauter à 2m de haut, expliquez moi comment faire pour passer cette barre ... et tu nous dis ... au fait, apparemment, je n'arrive pas non plus à sauter à 1m10 de haut.

OShine

lourrran a dit :

C'est simple. C'est toujours la même chose : décomposer un truc compliqué en étapes simples.

Etape 1) en quelle classe on rencontre des exercices avec des tirages avec ou sans remise pour la première fois ?
Etape 2) Prendre un livre de cours correspondant à cette classe, prendre un livre d'exercice correspondant à cette classe, et bosser.
Etape 3) Si tu ne comprends pas les cours où on explique les tirages avec remise pour la première fois, tu postes des questions sur ce forum, sur la base de ces cours ou de ces exercices d'initiation.

Là, tu nous refais le coup pour la 100ème fois : je n'arrive pas à sauter à 2m de haut, expliquez moi comment faire pour passer cette barre ... et tu nous dis ... au fait, apparemment, je n'arrive pas non plus à sauter à 1m10 de haut.

J'ai déjà revu tout ça.
Je rappelle que j'ai revu le cours de dénombrement de sup entièrement en refaisant tous les exos c'était en Juin dernier.

OShine

@Julia Paule 
Intéressant merci cette histoire d'emplacement m'a aidé un peu.

OShine

Maintenant que je pense avoir compris avec l'explication de @Julia Paule je vais prendre un exemple pour être sûr de ma compréhension.

Julia Paule

Ok. La définition de l'univers : "ensemble des parties de cardinal $n$ de l'ensemble des boules, qu'on munit de la probabilité uniforme" signifie précisément que toutes les boules sont différenciées (on ne s'intéresse pas a priori à leur couleur) et que tous les tirages de ces boules différenciées sont équiprobables.

lourrran

Je rappelle que j'ai revu le cours de dénombrement de sup entièrement en refaisant tous les exos c'était en Juin dernier.

La question de la mémoire est un sujet intéressant.
Un type normal n'oublie pas en 3 mois un truc sur lequel il a travaillé sérieusement.
Ca n'existe pas.
Si ta mémoire efface toutes tes connaissances au bout de 3 mois, il faut travailler ça. Je pense qu'il y a des médicaments ou des aliments et qu'il y a par ailleurs des exercices qui aident à développer la mémoire.
Tu ne peux pas devenir un bon prof de maths si tous les 3 mois, tu oublies les bases.

La 2ème explication (tu savais il y a 3 mois et tu ne sais plus) , c'est qu'en fait, en juin, tu as fait tous les exos, bla bla bla, mais tu n'as rien enregistré. Si au lieu de faire TOUS les exos, au pas de course, en lisant les corrigés, tu avais fait 10% des exos, sérieusement, en CHERCHANT (ce n'est pas un gros mot), en commençant par des exos à ta portée, simples, tu aurais certainement été capable de retenir les bases.

Là, tu nous dis qu'en juin, tu savais sauter à 2m de haut, mais qu'aujourd'hui, tu ne sais plus passer une barre à 1m10.
Même discipline, même chapitre, et tu ne sais plus rien.
Ca ne te paraît pas symptomatique ? Tu n'as pas envie de comprendre pourquoi ton niveau a baissé à ce point en aussi peu de temps ? Et tu n'as pas envie un jour d'être capable de retenir les trucs que tu apprends ?

OShine

Il y a des choses que je n'oublie pas, par exemple le calcul matriciel.
La formule du produit matriciel je ne l'ai jamais révisé je la connais depuis 5 ans 

lourrran

Oui, très bien.
Donc ça confirme ce que je disais : en juin, tu as bossé plein d'exercices sur les dénombrements, mais ça n'a pas 'imprimé' dans ta mémoire.
Donc je recopie : 

La 2ème explication (tu savais il y a 3 mois et tu ne sais plus) , c'est qu'en fait, en juin, tu as fait tous les exos, bla bla bla, mais tu n'as rien enregistré. Si au lieu de faire TOUS les exos, au pas de course, en lisant les corrigés, tu avais fait 10% des exos, sérieusement, en CHERCHANT (ce n'est pas un gros mot), en commençant par des exos à ta portée, simples, tu aurais certainement été capable de retenir les bases.

Julia Paule

En fait je pense que tu essaies seulement de retenir des formules, des méthodes, des corrigés. En ne faisant pas les exercices, tu n'acquières pas d'intuition mathématique, indispensable à la compréhension, qui te permettrait de retenir vraiment. Les probabilités sont typiquement le domaine où tu as le plus de mal, car il y a très peu de formules, ce n'est que de l'intuition mathématique.
A mon avis, si tu veux réussir, il fait vraiment chercher, en faisant des exercices à ton niveau (les trop durs ou trop faciles sont contre-productifs), et il est préférable de faire deux ou trois exercices à fond et de sécher longtemps (mais quand mêmepas trop non plus, on perd du temps), plutôt que de survoler dix exercices en essayant de retenir, je dirais même, d'apprendre par cœur, les corrigés. Tu vas avoir du mal à faire illusion à l'oral.

OShine

Tous les exos que je fais d'oraux ne sont pas corrigés.
Mais j'ai fait peu de probabilités.

À l'oral si je tombe sur de l'algèbre ou analyse je peux m'en sortir.
Le dénombrement c'est le domaine où je suis le plus faible.

OShine

Quand j'aurai fini d'étudier le cours de proba je vais chercher des exos d'oraux de proba niveau CCINP Mines Télécom et bien entendu ils ne sont pas corrigés sur le site beos.