Compact extrêmement discontinu

amafhh

bonjour,

Soit $K$ un espace topologique compact extrêmement discontinu et $G$ un ouvert de $K$.

A-t-on pour tout $x\in G$ il existe un voisinage ouvert $\mathcal{V}_{x}$ de $x$ tel que $\overline{\mathcal{V}_{x}}\subseteq G$ ?

Merci par avance pour la réponse 

Titi le curieux

Bonjour,

  Je suppose qu'on est sur la même définition du compact, c'est à dire Borel-Lebesgue et séparation.

 Dans ce cas, un compact est normal. $\{ x \}$ et $G^c$ sont des fermés ...

   Edit: Pardon, je n'avais pas fait attention au fait que tu voulais l'adhérence du voisinage dans $G$ et pas juste le voisinage. Ce n'est pas très grave, ça reste vrai et c'est bien démontrable du fait que l'espace est normal, mais il faut connaître un peu les propriétés liées à la normalité. En mode artillerie lourde, il y a le théorème de Urysohn.

amafhh

Titi le curieux, merci
mais j'ai pas bien compris c'est quoi le voisinage qui répond a ma question ?

Titi le curieux

J'ai un peu exagéré avec Urysohn, c'est beaucoup plus basique que ça: 

  Vu que l'espace est normal, que $\{x\}$ et $G^c$ sont des fermés disjoints, il y a une paire d'ouverts disjoint $U_x$ et $V$ tel que $\{x\}$ est contenu dans le premier et $G^c$ dans le second. L'adhérence de $U_x$ se trouve dans le complémentaire de $V$ (c'est un fermé qui contient $U_x$), lui-même est contenu dans $G$.

amafhh

Titi le curieux
merci