Nombres de Fermat

basicq

Bonjour,

Voici le corrigé de l'énoncé suivant : "montrer que les nombres de Fermat sont premiers deux à deux".

Comment passer de Fm divise Fn - 2 à d divise 2 ?

Merci d'avance

Heuristique

Bonjour,

Tu as $F_n = (F_m - 1)^{2^k} + 1$. Je te propose de développer $(F_m - 1)^{2^k}$ avec le binôme de Newton comme conseillé. Tu peux aussi, si tu es à l'aise avec les congruences, regarder ce qui se passe modulo $F_m$.

basicq

J'arrive à écrire Fn-2=Fm x Q où Q est un entier en traitant séparément les 2 premiers termes de (Fm-1)^2^k mais je ne vois pas comment on arrive à d divise 2

Regarde ce qu'il se passe modulo Fm, à partir de quel nombre ? Comment d va intervenir là dedans ?

aissalh

soit n entier et  k entier non nul
tu montre que 
F_(n+k) cong 2 mod(F_n)    en partant de 
  2^2^n cong 1 mod(F_n)  et déduire le résultat voulu 
bon courage

basicq

Est-ce bien le sens du corrigé ici ? Le passage est en une ligne et le fait passer pour une évidence sans tant d'étape intermédiaire.

basicq

Merci à LOU16 pour sa réponse en Message privé : 

d divise Fn - 2 donc d divise 2 - Fn or d divise Fn donc d divise 2-Fn+Fn=2