Marche aléatoire à grands petits pas

Georges Abitbol

Bonjour !

Soit $(a_n)_n$ une suite de réels positifs convergeant vers $0$ dont la série diverge et qui n’est pas de carré sommable, et $(R_n)_n$ une suite iid de variables de Rademacher. Soit, pour tout $n$, $S_n:= \sum_{k\in n} R_ka_k$ modulo $1$. Est-ce que, presque sûrement, $\{S_n\ \vert \ n\}$ est dense ?

La réponse doit être très connue. Voici mes idées (cachées pour vous laisser chercher, si ça vous amuse).

Je me disais que oui : il suffit de démontrer que c’est $\frac{1}{k}$ dense, pour tout $k$. Je me dis que par Borel-Cantelli ou autre loi du $0-1$, cela doit être vrai  avec probabilité $0$ ou $1$ (mais je n’arrive pas à démontrer ce bout-là). Et il est évident que ça a probabilité non nulle de se produire.

EDIT : coquille corrigée (merci Calli)

EDIT2 : Ajout d’hypothèses pour tenir compte d’un contre-exemple de Calli et d’informations trouvées dans le document en lien ci-dessous.

Calli

Salut,
La définition de $S_n$ semble erronée. Est-ce que tu peux la corriger s'il te plait ?

Georges Abitbol

Là c’est bon !

Bon, je crois que j’ai été trop présomptueux. En effet, je crois que la condition à imposer est plutôt que la suite soit ne soit pas dans $L^2$ (voir cette page, dont je pense que le lemme 8 aide beaucoup).

EDIT : encore une coquille…

Calli

Il y a toujours ce $k\in n$ bizarre dans la somme. C'est $k\leqslant n$ je présume ?
Il me semble qu'il y a des contre-exemples avec les hypothèses que tu prends pour l'instant.
Sous l'hypothèse $(a_n) \not\in \ell^1(\Bbb N)$, la suite constante égale à 1 donne un contre exemple car $S_n =0$ pour tout $n$.
Sous l'hypothèse $(a_n) \in \ell^2(\Bbb N)$, si $\sum_{n\in\Bbb N} a_n$ est très petit alors $\{S_n \mid n\in\Bbb N\}$ n'est pas dense non plus car inclu dans un petit voisinage de 0.

Georges Abitbol

Pardon pour le « soit dans $L^2$ », c’est le contraire. Justement, le document lié ci-dessus dit que la série (sans modulo) avec les $\pm$ aléatoires converge presque sûrement si la suite est de carré sommable, donc c’est pas bon.

Ah oui j’avais pas vu, j’utilise toujours cette notation, parce que $n=\{0, \cdots, n-1\}$ 

Ah oui, bien vu pour la suite constante… Je crois que j’avais en tête « convergeant vers $0$ » mais j’ai oublié de le dire…

Georges Abitbol

Pour faire avancer un peu le sujet, voici un exemple de suite qui vérifie ce que je veux.

Soit $b$ une suite de réels strictement positifs convergeant vers $0$. Montrons qu’il existe une suite $a$ de la forme

$b_0$ répété $n_0$ fois, $b_1$ répété $n_1$ fois, etc.

qui convient.

Soit, pour tout $K\geq 0$, $n(K)$ le plus petit entier $n$ tel que la probabilité que (parmi une suite finie $(R_k)_{k \in n}$ de variables iid de Rademacher, en au moins $\lfloor K \rfloor$ indices consécutifs, des $1$ apparaissent) soit plus grande que $\frac{1}{2}$.

Alors, posons, pour tout $k$, $n_k := n\left(\frac{1}{b_k}\right)$. Soit $(R_n)_n$ une suite de variables iid de Rademacher. Posons $a$ comme ci-dessus, et notons toujours $S$ la suite des sommes partielles de $a\cdot R$.

Par le deuxième lemme de Borel-Cantelli, la suite $S$ fait, pour tout $\epsilon$, presque sûrement une infinité de fois des séries de tout petits pets pas de taille plus petite que $\epsilon$ qui balaient des segments de longueur $1$. Donc, modulo $1$, ça passe à $\epsilon$ près de tout le monde.

Calli

Voici une preuve dans le cas $(a_n)\not\in \ell^2(\Bbb N)$. En utilisant le lemme 8 du document que tu as cité, on peut construire par récurrence une suite $(n_k)$ strictement croissante telle que $$\forall k\in\Bbb N,\quad \Bbb P\bigg(\bigg|\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1} a_n R_n \bigg| > 1\bigg) \geqslant \frac12.$$
Notons $A_k$ l'événement dans la probabilité ci-dessus. Lorsque $A_k$ se produit, on sait que tout point de $[0,1]$ est à distance au plus $\sup\,\{a_n\mid n_k \leqslant n < n_{k+1}\}$ de $\{S_n \mid n_k \leqslant n \leqslant  n_{k+1}\}$. Supposons que $a_n\to 0$. Alors $\sup\,\{a_n\mid n_k \leqslant n < n_{k+1}\}\to0$ quand $k\to\infty$. Donc quand une infinité des $A_k$ se produit, $\{S_n \mid n\in\Bbb N\}$ est dense dans $[0,1]$. Et par le lemme de Borel-Cantelli, ceci se produit avec probabilité 1 car $\sum_{k\in\Bbb N}\Bbb P(A_k)=\infty$.

Georges Abitbol

Oh trop bien ! Merci beaucoup 😊