La condition est-elle suffisante

Amadou

Bonjour,
A propos de l'inégalité triangulaire, est-ce que cette condition est suffisante pour avoir égalité ?

Je remarque que si au moins un des deux complexes $z_1$ et $z_2$ est nul, il y a toujours égalité. En plus, je constate aussi que si $z_1$ et $z_2$ sont colinéaires, alors il y a aussi égalité.

Supposons $z_1$ est colinéaire à $z_2$. Alors il existe un $k \in \mathbb{Z}^{*}$ tel que $z_1 = kz_2$. Donc, on a $(1+k)|z_2| \leq k|z_2| + |z_2|$.

gerard0

Bonjour. 

Qu'appelles-tu "colinéaire"? Et pourquoi parler de $ \mathbb Z$ ?

Cordialement. 

Amadou

gerard0 a dit :

Qu'appelles-tu "colinéaire"?

Si deux objets se trouvent confondus sur une seule même ligne alors on dit qu'ils sont colinéaires.

Et pourquoi parler de $ \mathbb Z$ ?

J'ai fait une représentation graphique pour avoir une idée de ce que ça donne et ce sont les cas particulier que j'ai trouvé pour l'instant.

gebrane

Je traduis le texte du livre comme ceci;
$|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$  si et seulement si $z_1=0$ ou $z_2=0$ ou $z_1=kz_2$ avec $k\in\R^*_+$.

Amadou

@gebrane. Je comprends mieux maintenant grâce à votre traduction. C'est le point $O$ de coordonnée $(0,0)$ qui m'avait échappé.
J'aimerais savoir pourquoi on restreint uniquement $k$ à $\mathbb{R}^{*}_{+}$ ? Les images ne peuvent-elles pas se trouver sur une droite passant par l’origine du repère ?

Votre nouvelle photo de profil est impeccable.

gebrane

 Tu peux démontrer que si 
$|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ alors $arg(z_1)=arg(z_2) (2\pi)$ qui exprime que Les images doivent être sur la même demi droite d'origine O ce qui demande si $z_1=k z_2$ que k doit être positif car sinon $z_1=k z_2$ avec $k<0 $ implique $arg(z_1)=arg(k)+arg(z_2) \,   (2\pi)=\pi +arg(z_2) \, (2\pi) $ contradictoire avec $arg(z_1)=arg(z_2)\,  (2\pi)$ 

JLapin

Amadou a dit :
J'aimerais savoir pourquoi on restreint uniquement $k$ à $\mathbb{R}^{*}_{+}$ ? Les images ne peuvent-elles pas se trouver sur une droite passant par l’origine du repère ?

Il y a plein de façons d'écrire le cas d'égalité. Géométriquement, les points doivent se situer sur une même demi-droite qui démarre à $0$. 

Comme tu l'as peut-être compris, on pourrait très bien prendre $k\in \R_+$. C'est juste un choix arbitraire de l'auteur.

Amadou

J'avais un peu eu du mal à comprendre quand à ta notation. Est-ce que c'est une nouvelle écriture $\arg(z_1)=\arg(z_2)(2\pi)$ ? Je n'ai vu jusqu'à présent, seulement de manière d'écrire : $\arg(z_1)\equiv \arg(z_2)[2\pi]$ et $\arg(z_1)=\arg(z_2)\mod (2\pi)$.

J'ai aussi fait quelques essais avec $k<0$ pour mieux comprendre, et j'ai remarqué que l'égalité ne tenait plus, mais l'inégalité triangulaire fonctionne toujours.

Je m'approprie cette démonstration le farceur.