Endomorphismes de $C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$

Bonjour à tous,

Je travaille avec des familles (finies) de fonctions, de $\mathbb R^d$ dans $\mathbb R$ ($d=1$ dans un premier temps). Je trouve qu'une manière "élégante" (et en général, facilement généralisable) d'en prouver la linéaire indépendance est d'exhiber un endomorphisme dont les éléments de la famille sont des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes. 

Pour une famille en particulier, les opérateurs $D$ (dérivation), $I$ (intégration) et $f\mapsto f(\,\cdot\,-a)$ (translation) et toutes leurs compositions/combinaisons linéaires... ne semblent pas suffire. Je cherche donc des exemples (même "exotiques") d'endomorphismes (linéaires) de $\mathcal{C}^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$.

Je sais d'avance que me question est très générale. Toute source d'amélioration du post est la bienvenue. En vous remerciant d'avance !

K.

Réponses

  • Si $g$ est dans $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ alors $f \mapsto fg$ et $f \mapsto f \circ g$ sont également des endomorphismes de $E$. (Oui, ça n'apporte pas grand-chose, mais ça répond à la question). 
  • Merci Heuristique ! Je les ajoute à ma liste.
  • Bonjour, si $g$ est une fonction à support borné : $f \mapsto g \ast f$ le produit de convolution convient. (Le produit de convolution est encore une fonction $C^\infty$).
  • Très bonne idée Barjovrille ! Merci !
  • Je propose la fonction $\delta_a:f\mapsto (x\mapsto f(a))$ qui à $f$ associe la fonction constante égale à la valeur de $f$ en un point.
    On peut la voir comme une convolution... mais pas avec une fonction de la forme proposée par @Barjovrille .
  • Merci @bisam pour cette proposition. Hélas, les vecteur propres d'un tel endomorphisme sont les fonctions constantes...
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