Pourquoi ne pas ajouter d'autres variables pour résoudre le problème SAT

octobre

Bonjour à toutes et tous, 

Pourquoi ne pas ajouter d'autres variables pour obtenir une matrice inversible, afin de résoudre le problème SAT en temps polynomial ?

En clair, on peut transformer le problème SAT en $AX=1$ avec $X$ un vecteur et $1$ le vecteur de 1, mais le déterminant est souvent nul, donc $A^{-1}$ n'existe pas. Cependant, en supposant que, puisque j'ai la forme du déterminant, je pourrais construire un algorithme en temps polynomial où j'ajoute d'autres variables pour ne plus avoir un déterminant nul, je pourrais alors trouver $A'^{-1}$ et la résolution serait en temps polynomial pour trouver X' ou il y a X.

Heuristique

Bonjour,

Peux-tu préciser sur quel espace vectoriel tu travailles, ce que signifie 1 et expliciter ton système sur une instance de SAT donnée ?

Au cas où, je précise que l'addition dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ne correspond pas au OU de la logique mais à un OU exclusif.

octobre

Bon je sais que ça marche aussi pour modulo 2 , la seule raison et de ne pas l'utliser et que souvant le déterminant est nulle donc pourquoi ne pas ajouter d'autres varaibles pour rendre le determinat égal à 1 et dans ce cas je peux trouver $A'^-1$ et puis après $X'$ ou $X$ est dans $X'$.

Heuristique

Peux-tu donner un système linéaire (j'insiste sur linéaire) $S$ tel que $S$ admet une solution $(x,y,z)$ ssi $(x,y,z)$ est une valuation rendant vraie $x \vee y \vee z$ ?

octobre

octobre

J'ai une question par rapport au calcule matricielle au mod 2 est ce qu'il est parielle que mod 10?
Ca veux dire est que AX=1 je peux calculer $A'^-1 $ et puis X' tant que det(A') est non nulle biensur ici je utlise un calcule mod 2...

octobre

je vais donner exemple $C1=x1+x2+!x3$ et $C2=!x1+x2+x3$ et $C3=x1+!x2+x3 $  donc le matrice inversible est $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ici j'ai $AX=1$  donc $A^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

 Donc $x=A^{-1}*1= \begin{pmatrix}1 \\0 \\1\end{pmatrix}$ tout les calcules son en modulo 2 
J'ai bien $X$ vérfier $C1=1+0+0=1$ et $C2=0+0+1=1$ et $C3=1+1+1=1$

Donc si j'ai des Cn avec plusieurs variables il suffit de trouver $A$ inversible ou même si il n'est pas inversible il suffit d'ajouter des variables et des équations de plus pour le rendre inversible est avoir un nouveau matrice $A'$ inversible comme ça il suffit de calculer $A'^{-1}$ pour trouver $X'$ et ou $X$ est dans $X'$ et $Cn$est dans $C'n$ et tous ça en temps plynomniale...

Heuristique

Tu n'as pas un système linéaire au sens usuel du terme, tu as un système de contraintes linéaires (des inégalités). Ce n'est pas la même chose et cela ne peut se traiter de la même manière. De plus, tu indiques vouloir travailler dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ qui n'a pas d'ordre total compatible avec l'addition. Tu dois donc choisir ton camp : soit tu utilises des systèmes d'inégalités avec des entiers, soit tu utilises les booléens de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, mais tu ne peux pas faire les 2.

Bound

Bonjour. Le problème de ta piste de recherche, c'est comment est-ce qu'on fait pour linéariser $x \land y = 1$.

J'ai fait une démonstration (qui a de fortes chances d'être fausse certes) mais qui tente de remédier à ce problème.

Voir le lien ci-dessous :

https://drive.google.com/file/d/1uWM9psCAbafUeTT887G5QE94d1ffe05J/view?usp=sharing

octobre

Et si on fait juste une erreur de branchement électronique pour avoir le même ou que le + dans un ordinateur?
En clair en résoud le problème SAT sous forme linéaire mais avec une erreur de branchement electronique ou le + devient un ou logique lorsque on utilise l'élimination gaussienne...
En plus clair tout le caclule Ax=1 sera fait avec OU exclusif a la place de l'addition..
Voir le lien pour plus de detail

https://chatgpt.com/share/67297a45-1208-8005-98d0-8509b4b84c8d

octobre

Pour information, la résolution de ce problème n'a pas de prix. C'est un problème que personne ne peut voler, car avec lui, on peut simuler tout l'univers et découvrir qui est réellement la source de cette solution. 

octobre

Pour une matrice inversible « A », les solutions de l'équation « A x = 1 (mod 2) » et celles obtenues en satisfaisant une condition logique OU peuvent parfois coïncider, mais ce n'est pas toujours le cas. Les différences proviennent de la nature des opérations impliquées :

1. Propriétés d'une matrice inversible mod 2

a) Si « A » est inversible modulo 2, cela signifie que « A » est une matrice carrée et que chaque colonne de « A » est linéairement indépendante.

b)Ainsi, l'équation « A x = 1 (mod 2) » a une solution unique pour « x » sur le corps fini à deux éléments (0 et 1). Cependant, la condition OU ne garantit pas une solution unique ; elle nécessite seulement de trouver des combinaisons de « x » qui satisfont au moins un « 1 » dans chaque ligne. Cela signifie qu'il pourrait y avoir plusieurs vecteurs « x » qui satisfont à la condition OU, même si « A » est inversible.

2. Cas où les solutions coïncident

a) Les solutions de « A x = 1 (mod 2) » et la condition OU coïncideront si et seulement si la solution unique à l'équation linéaire satisfait également la condition de couverture requise par l'OR.

b) Cela se produit dans les cas où chaque ligne de « A » contient un « 1 » dans les positions correspondant à la solution unique de « A x = 1 (mod 2) ». En d'autres termes, si la solution « x » de « A x = 1 (mod 2) » « active » chaque ligne de « A », alors cette solution satisfera également la condition OU.

c)Cependant, même dans ce cas, la condition OU ne garantit pas qu’il s’agisse de la seule solution possible, car le OU logique peut permettre des solutions supplémentaires.

3. Cas où les solutions diffèrent

Si chaque ligne de « A » n’est pas activée uniquement par la solution de « A x = 1 (mod 2) », alors il est possible que la condition OU admette des solutions supplémentaires qui ne satisfont pas l’équation linéaire.

Cela se produit particulièrement si d'autres combinaisons de 0 et de 1 dans « x » couvrent les « 1 » requis dans chaque ligne sans satisfaire strictement « A x = 1 (mod 2) ».

Par conséquent, pour une matrice inversible « A », l'équation linéaire a une solution unique, tandis que la condition OU peut admettre plusieurs solutions, y compris potentiellement la solution de « A x = 1 (mod2) » mais sans s'y limiter.

Conclusion Pour une matrice inversible « A », les solutions de « A x = 1 (mod 2) » et celles satisfaisant la condition OU ne coïncideront que si la solution unique de l'équation linéaire satisfait également la condition OU pour chaque ligne. Cependant, en général, la condition OU peut avoir plus de solutions, incluant potentiellement d'autres vecteurs « x » au-delà de la solution unique de l'équation linéaire.

Question :

Pouvons-nous ajouter d'autres variables pour satisfaire la condition 2.b et résoudre le problème 3-SAT en temps polynomial en le résolvant en MOD 2, étant donné que les deux solutions coïncident ?

Plus clairement, nous transformons le problème 3-SAT en un problème de recherche d’une matrice inversible qui répond à certaines conditions en ajoutant des variables supplémentaires.

Pour information, le calcul pour rechercher cette matrice peut être optimisé, car seule une petite partie sera finalement modifiée pour tester si la matrice est inverible. Les calculs plus importants sont effectués qu'une seule fois qui sont juste en mod 2. 

Kraw

Est-ce moi, ou tu nous fais des copy pasta de chatgpt ?

Rescassol

Bonjour,

Tu dates un peu, on est en novembre.

Cordialement,
Rescassol

octobre

@Kraw non je parle comme chatgpt grace a l'utlisation de ce alghorithme 

Le problème SAT (problème de satisfiabilité) peut être appliqué en biologie pour résoudre des problèmes de recherche et de décision qui nécessitent de tester de nombreuses combinaisons ou de trouver des configurations satisfaisant un ensemble de contraintes. Voici quelques exemples et applications pratiques de l'utilisation du problème SAT en biologie :

1. Modélisation de Réseaux Génétiques et Métaboliques

Les réseaux génétiques et métaboliques sont des systèmes complexes constitués de gènes et de réactions biochimiques interdépendants. Le problème SAT peut être utilisé pour modéliser et analyser ces réseaux :

• Réseaux de régulation génétique : Dans ces réseaux, chaque gène est activé ou désactivé en fonction de l'expression d'autres gènes, ce qui peut être vu comme un problème logique où chaque gène est une variable binaire (activé ou désactivé). Le problème SAT aide à trouver des configurations satisfaisantes d'expression des gènes qui respectent les contraintes biologiques, telles que les conditions pour l'activation ou l'inhibition.

• Réseaux métaboliques : Les réseaux métaboliques impliquent des réactions enzymatiques qui convertissent des substrats en produits. En formulant cela comme un problème SAT, on peut analyser quelles combinaisons de réactions métaboliques sont nécessaires pour atteindre un certain état cellulaire ou pour produire une molécule cible.

2. Conception de Circuits Génétiques Synthétiques

En biologie synthétique, le problème SAT peut aider à concevoir des circuits génétiques, qui sont des assemblages de gènes synthétiques capables de produire une réponse biologique spécifique. En utilisant le problème SAT :

• Les chercheurs peuvent spécifier des contraintes et des comportements souhaités pour les circuits, comme l'activation ou la répression de gènes en fonction d’entrées biologiques.
• SAT aide à explorer des configurations possibles de circuits génétiques, testant des millions de combinaisons pour identifier celles qui satisfont les conditions imposées, par exemple l'activation de certaines gènes en réponse à des signaux spécifiques.

Grâce à SAT, des configurations optimales peuvent être sélectionnées, réduisant le temps et le coût de l’expérimentation biologique.

3. Reconnaissance de Motifs dans les Séquences ADN

La reconnaissance de motifs dans des séquences ADN est essentielle pour identifier des sites de liaison aux protéines, des promoteurs, et d’autres éléments régulateurs dans les génomes. Le problème SAT peut être utilisé pour cela :

• Identification de motifs spécifiques : En codant les règles et motifs à rechercher sous forme de clauses logiques, SAT peut aider à identifier les séquences qui respectent les contraintes du motif cible.
• Comparaison des séquences : Pour des analyses de similarité, SAT peut vérifier si certaines combinaisons de nucléotides satisfont des schémas prédéfinis, permettant ainsi de détecter des sites de liaison spécifiques ou des signatures génétiques particulières.

4. Problèmes de Pliage de Protéines

Le repliement des protéines, c'est-à-dire la façon dont une séquence d'acides aminés prend une forme tridimensionnelle fonctionnelle, est un problème complexe avec de nombreuses configurations possibles. SAT peut être utilisé pour tester des configurations et identifier celles qui respectent les contraintes de liaisons chimiques et énergétiques.

• En représentant les liaisons potentielles et les interactions entre les acides aminés par des clauses de SAT, on peut tester différentes structures et orientations pour déterminer les configurations possibles et leur stabilité.

5. Analyse de Variants Génétiques et Détection de Pathologies

Le SAT peut également aider à modéliser des interactions génétiques complexes qui peuvent conduire à des maladies :

• Association de gènes : En formulant les interactions génétiques et les conditions nécessaires pour qu’une maladie apparaisse comme un problème SAT, les chercheurs peuvent identifier les combinaisons de variantes génétiques qui augmentent la probabilité de développer certaines maladies.
• Diagnostic de pathologies : SAT peut aider dans les tests de dépistage pour déterminer la présence de combinaisons génétiques spécifiques (mutations ou SNPs) associées à des pathologies, en vérifiant si les séquences respectent les modèles pathogéniques connus.

Conclusion

Le problème SAT offre une approche puissante pour traiter des problèmes biologiques complexes en codant des interactions moléculaires ou génétiques sous forme de contraintes logiques. En tirant parti des algorithmes de résolution SAT, la biologie peut ainsi modéliser des systèmes vivants complexes, analyser des réseaux de régulation, concevoir des circuits génétiques et même améliorer la détection des maladies

Kraw

Rescassol a dit :

Bonjour,

Tu dates un peu, on est en novembre.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour, si cela s'adressait à moi, le dernier message (celui avant moi) datait du même jour. Mais quel erreur de relancer un shtameur, j'oublie trop souvent.