Moyenne des itérés

michal

Bonjour, 

Je suis tombé sur l'exo suivant  (ENS PC 2023) : 

On considère un espace vectoriel $E$ de dimension finie, muni d'une norme $\|\cdot\|$ et $f\in \mathcal L(E)$ vérifiant :

$$\forall x\in E,\quad \|f(x)\|\leqslant \|x\|$$

On définit, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\displaystyle s_n=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} f^k$.

a) Soit $x\in \ker(f-\mathrm{Id}_E)\cap \mathrm{Im}\,(f-\mathrm{Id}_E)$ et soit $y\in E$ tel que $x=f(y)-y$. Pour $n\in \mathbb{N}$, exprimer $f^n(y)$ en fonction de $x$, $y$ et $n$.

En déduire que $\ker(f-\mathrm{Id}_E)$ et $\mathrm{Im}\,(f-\mathrm{Id}_E)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans $E$.

b) Soit $x\in E$. Montrer que la suite $(s_n(x))_{n\geqslant 0}$ converge et déterminer sa limite.

c) Donner un contre-exemple lorsque $E$ n'est pas de dimension finie.

Je me demandais si la conclusion de la question b) était valable sous une hypothèse plus générale que celle de la dimension finie. Si $E$ est complet ? 

Merci d'avance, 
Michal

Foys

La conclusion de l'exo est vraie dans n'importe quel espace de Hilbert (même de dimension infinie) et s'appelle le "théorème ergodique de Von Neumann".

michal

Òk. Et s'il n'y a pas de produit scalaire sur $E$ (comme dans l'exo) ?

michal

Up

raoul.S

michal a dit :

Je me demandais si la conclusion de la question b) était valable sous une hypothèse plus générale que celle de la dimension finie. Si $E$ est complet ? 

Comme ça je dirais que la complétude ne suffit pas, en effet dans la question c) on dit qu'il existe un contre-exemple lorsque $E$ est de dimension infinie, à fortiori il existe un contre exemple lorsque $E$ est de dimension infinie et complet (prendre éventuellement le complété du contre-exemple et prolonger $f$...).

marco

Soit $E$ l'espace des fonctions continues bornées de $\R$ dans $\R$, muni de la norme du sup. Soit $v \in E$ définie par $v(x)=\max(0, 1- |x|)$. Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ qui à $u \in E $ associe $vu \in E$.

Soit $u$ la fonction constante égale à $1$.

Alors $s_n(u)(x)=\frac{1}{n+1}\frac{1-(v(x))^{n+1}}{1-v(x)}u(x)$ si $x \neq 0$ et $s_n(u)(0)=u(0)=1$

$ \lim_{n \mapsto + \infty} s_n(u)(x)=0$ si $x \neq 0$.

Donc $s_n(u)$ ne converge pas vers une fonction continue donc ne converge pas dans $E$.

Remarque: on pourrait aussi choisir $E$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme du maximum (de la valeur absolue). Et choisir $v(x)=x$. Alors, lorsque $n$ tend vers l'infini, $s_n(u)$ ne converge pas vers une fonction continue en $x=1$.

Il me semble que $E$ est complet, dans les deux exemples.