Affixes, images (nombres complexes)

Amadou

Bonjour @NicoLeProf , @gerard0, @Chaurien et un grand bonjour à vous tous !

Je voulais juste dire merci à tout le monde. J'ai réussi à commander et à recevoir mes livres (à l'exception des manuels de Bernard Gostiaux), grâce à vos conseils et votre aide.

Actuellement je suis en phase de rattrapage de mes lacunes du lycée.

Je ne comprends pas très bien ce passage où l'on parle image et affixe tiré du manuel «Mathématiques 

d’excellence, cours pour des lycéens très motivée ».

Au lycée, on m'a dit que si $z_M=x+iy \iff M(x,y)$, alors l'affixe du nombre complexe $z$ correspond aux coordonnées $(x,y)$.

Mais en lisant ce passage du manuel, c'est le flou total pour moi. Et c'est quoi l'image ici ?
Avec la notion d'application, de fonction, j'ai compris la notion d'image et ensemble d'image. Par exemple dans un cas particulier si $u : \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ qui a $x\mapsto u(x)=x+1$ alors $u(1)=2$. Donc l'image de $1$ par l'application $u$ est $2$. Mais avec les complexes, je ne pige rien du tout.

Merci d'avance !

NicoLeProf

Bonjour Amadou,

pour répondre à ta question et mieux comprendre d'où sort le vocabulaire "image" ici, il faudrait que tu lises comment on peut construire $\mathbb{C}$ : l'ensemble des nombres complexes.

C'est assez théorique et il faut avoir des connaissances sur les structures algébriques par exemple.

Une fois que tu as suffisamment de propriétés sur $\mathbb{R}^2$ (structure de corps commutatif pour une addition et une multiplication clairement définies) ; identification (à l'aide d'un isomorphisme) d'un réel à un couple ; notation/convention $i:=(0,1)$, tu peux définir l'application suivante :

\begin{array}{ccccl}
& \mathbb{C}   & \to & (\mathbb{R}^2,+,\times) \\
 &  x+iy & \mapsto & (x,y) \\
\end{array}

qui est un isomorphisme de corps (attention avec les lois qui conviennent pour $\mathbb{R}^2$, ce n'est pas la "multiplication habituelle" de $\mathbb R)$.

Il s'agit de la bijection réciproque d'un isomorphisme du document que je t'invite à lire ici.

On voit bien maintenant pourquoi on parle d'image pour le couple $(x,y)$ puisqu'il s'agit bien de l'image d'un élément de $\mathbb{C}$ par l'isomorphisme que j'ai explicité plus haut !

hx1_210

Ce qui est décrit ici c'est l'identification à un isomorphisme près (celui qu'a défini) NicoLeProf entre l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ et le plan de d'Argand-Cauchy $\mathcal{P}$.

Cette notion d'isomorphisme (bijection qui respecte les structures) n'est pas simple et il faut l'étudier. Ce n'est pas étudié dans le secondaire actuellement.

Cela revient à dire que travailler avec un nombre complexe dans $\mathbb{C}$ ou travailler avec un couple de nombres réesl dans $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ c'est la même chose. Pour autant cela reste deux espaces différents qui décrivent deux points de vue différents.

C'est néanmoins très pratique pour résoudre certains problèmes qui utilisent deux paramètres car les nombres complexes permettent "de rassembler" ces deux informations en un seul nombre: par exemple dans l'étude d'une onde.

Julia Paule

Sans parler de fonction, l'image d'un complexe $x+iy$ est sa représentation (ou sa matérialisation si tu préfères) dans le plan complexe (= un plan muni d'un repère orthonormé) par un point, le point de coordonnées $(x,y)$. C'est une image, dans le sens d'un dessin.
On fait cette représentation parce qu'il y a plein de similitudes entre les complexes et la géométrie analytique (avec des coordonnées) dans un plan. Tu le verras très prochainement.

Thierry Poma

@NicoLeProf : bonsoir. J'espère que tu vas bien. Plutôt que de considérer un isomorphisme de corps, il me semble bien plus judicieux, et surtout commode de considérer un isomorphisme de $\R$-espaces vectoriels. Par ailleurs, si l'on considère par exemple le $\R$-e.v. $(\R^2,\,+,\,\times)$, il est possible de considérer la loi d'action naturelle $\Phi:\R^2\times\R^2\to\R^2,\,(t,\,v)\mapsto{}t+v$ qui fait que $(\R^2,\,\R^2,\,\Phi)$ est un $\R$-espace affine. Qu'en penses-tu ?

Thierry Poma

A isomorphisme près, je préfère de loin introduire le corps des nombres complexes en considérant l'ensemble\[\C=\left\{\begin{array}{c|c}\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)&(a,\,b)\in\R^2\end{array}\right\}\]Par transport de structures, il est ainsi possible de pourvoir $\R^2$ d'une structure de corps  en ayant la jouissance de découvrir les lois en jeu, lois qui font de $\R^2$ un corps isomorphe à $\C$. Le nombre complexe $i=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right)$ est bien tel que $i^2=-\mathbf{1}$, où $\mathbf{1}=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)$.

NicoLeProf

Bonjour Thierry Poma, comme toujours, tes considérations et ta construction de $\mathbb{C}$ me semblent très intéressantes, j'espère que tu te portes bien également, tout va bien de mon côté ! Cela dit, je ne pense pas que cette construction soit adaptée à Amadou qui revoit encore les bases. Peut-être que la mienne décrite plus haut est plus simple pour qu'Amadou puisse découvrir ces belles notions "en douceur".

mav1

Bonjour

A l'heure actuelle, on peut commencer à voir les complexes en 1re, et/ou en terminale. Avec ce qu'ils connaissent, j'irais vers ce qu'a écrit Julia Paule.

Amadou

@NicoLeProf, je crois (avec confiance) qu'actuellement j'ai compris mon chapitre sur les structures algébriques (groupes, anneaux, corps). Ça m'a pris un certain temps fou pour saisir tout, mais à part les exercices, j'ai bien réussi à comprendre les bases du cours.
En plus, j'ai aussi compris comment on a construit l'ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$ à partir des cardinaux, les entiers $\mathbb{Z}$ à partir des groupes (des demi-groupes), les rationnels $\mathbb{Q}$ à partir des anneaux, et j'ai aussi vu la construction des nombres complexes lorsque j'étudiais mon cours sur les polynômes.
Au début, je ne comprenais pas bien, du coup je n'ai pas vraiment fait attention à cette partie (la construction de $\mathbb{C}$. Je me suis donc dit que je reviendrai dessus plus tard, quand j'aurai mieux compris d'autres concepts important tels que les classes d'équivalence, les isomorphismes (un morphisme bijectif) et ... .

J'ai aussi compris comment ils ont défini la convention de $i^2=-1$. Au départ, ils ont pris un couple de réels, $(0,1)$, qui sert de base pour $i$. En multipliant ce couple par lui-même et en utilisant la règle de multiplication $(x,y) \times (x',y') = (xx' - yy', xy' + x'y)$, on obtient donc $i^2 = -1$.

Merci pour le lien. Je vais le lire et si je comprends pas, je reviendrai vers vous.

Amadou

hx1_210 a dit :

Cette notion d'isomorphisme (bijection qui respecte les structures) n'est pas simple et il faut l'étudier. Ce n'est pas étudié dans le secondaire actuellement.

D'accord, je comprends. Pour l'instant, j'essaie de combler mes lacunes du lycée et de revoir des notions que j'ai étudiées, comme les ensembles, la construction des nombres naturels, les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels, les polynômes et les nombres complexes que j'étudie en ce moment.

Le plan de d'Argand-Cauchy $\mathcal{P}$ ???

Thierry Poma

@Amadou : bonjour. Voici un extrait d'un livre présentant la construction que je citais plus haut. Elle a plein d'avantages, y compris en analyse complexe.

Amadou

Julia Paule a dit :

Sans parler de fonction, l'image d'un complexe $x+iy$ est sa représentation (ou sa matérialisation si tu préfères) dans le plan complexe (= un plan muni d'un repère orthonormé) par un point, le point de coordonnées $(x,y)$. C'est une image, dans le sens d'un dessin.
On fait cette représentation parce qu'il y a plein de similitudes entre les complexes et la géométrie analytique (avec des coordonnées) dans un plan. Tu le verras très prochainement.

D'accord ! Comme vous avez parlé de géométrie analytique, franchement, j'ai vraiment du mal à comprendre la géométrie même celle du collège.

Amadou

@Thierry Poma bonjour. Merci pour l'extrait.

L'analyse complexe, j'espère que ce n'est pas au dessus de mon niveau. Pour l'instant, je veux juste bien comprendre les choses que j'ai apprises au lycée et les chapitres de L1, que j'ai étudié surtout les bases fondamentales.

Thierry Poma

@Amadou : je sais bien que l'analyse complexe, ce n'est pas pour maintenant. Sois patient !

Paco_del_Rey

Bonjour à tous.

J'arrive après la bataille comme disait Victor en parlant d'un espagnol de l'armée en déroute.

Si on voulait détailler ce qui est raconté page 496, on pourrait dire :

On considère la fonction 

\( I : \C \longrightarrow \mathcal P \)

\( \phantom{I : } \; z \; \longmapsto M\left( x , y \right), \)

où \( x \) désigne la partie réelle de \( z \) et \( y \) désigne la partie imaginaire de \( z \).

Avec ces notations, l'image du point \( M \) au sens de la définition 4 est l'image \( I(z) \) du complexe \( z \) par l'application \( I \).

On a donc en présence deux sens du mot image. Pour autant cela ne porte pas à conséquence.

Ce que dit la remarque 3, c'est que si on considère la fonction

\( A : \qquad \mathcal P \quad \longrightarrow \C \)

\( \phantom{A : } \; M\left( x , y \right) \; \longmapsto x + iy \),

les fonctions \( I \) et \( A \) sont des bijections réciproques.

Ici l'affixe d'un point \( M \) est l'image de \( M \) par l'application \( A \).

C'est donc plus problématique d'introduire ces deux fonctions si on veut conserver les termes usuels d'image et d'affixe dans le cadre des nombres complexes.

Je reviens sur la citation d'Amadou :

Au lycée, on m'a dit que si $z_M=x+iy \iff M(x,y)$, alors l'affixe du nombre complexe $z$ correspond aux coordonnées $(x,y)$.

Le verbe "correspondre" est flou. Il doit être évité autant que possible si on veut être précis. Dans la citation, il ne fait pas apparaitre la différence de nature entre un point (du plan) et son affixe (un nombre complexe).

Par exemple, on peut multiplier deux nombres complexes, mais on ne peut pas multiplier - sauf à en donner une définition ad hoc - deux points du plan.

En espérant avoir éclairci la situation. Détailler à outrance ne rend pas les choses plus claires.

Paco.

Kot_Baïoun

Après Diahann Carroll, Lindsay Wagner, maintenant ?

Thierry Poma

Kot_Baïoun : exactement !

Kot_Baïoun

Excellents choix ! 

Kraw

Thierry Poma a dit :

A isomorphisme près, je préfère de loin introduire le corps des nombres complexes en considérant l'ensemble\[\C=\left\{\begin{array}{c|c}\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)&(a,\,b)\in\R^2\end{array}\right\}\]Par transport de structures, il est ainsi possible de pourvoir $\R^2$ d'une structure de corps  en ayant la jouissance de découvrir les lois en jeu, lois qui font de $\R^2$ un corps isomorphe à $\C$. Le nombre complexe $i=\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\\\end{array}\right)$ est bien tel que $i^2=-\mathbf{1}$, où $\mathbf{1}=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right)$.

Personnellement, même si cette méthode est plus "jolie", le fait d'introduire des matrices me dérange mais c'est une question de goût (et de non amour des matrice pour ma part).

Amadou

@NicoLeProf la façon dont l'auteur a fait la construction des nombres complexes est très facile à comprendre. On se donne au départ une application $A$ qui est un Isomorphisme de $\mathbb{R}$ sur $A(\mathbb{R})$. Ensuite, on identifie le nombre $i$ au couple $(0,1)$. Donc si on a un couple de réel $(a,b)$, on peut alors écrire un nombre complexe sous la forme $a+ib$. De plus cette notation nous permet alors de définir une application $A$ qui est isomorphisme de $(\mathbb{R}^2, +, \times)$ dans $A(\mathbb{K})$.  Comme on sait déjà que $\mathbb{K}$ est isomorphe à $(\mathbb{R}^2, +, \times)$, donc par convention on peut poser $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.

D'où la construction de l'ensemble des nombres complexes. On n'a pas fait de démonstrations mécanique sur l'associativité, la commutativité, la distributivité, l'élément neutre et l'éléments inversible. Quelle simplicité de construction l'ensemble $\mathbb{C}$.

Le point important dans tout ça, c'est le caractère isomorphisme entre deux ensemble.

Merci, maintenant je vois d'où vient l'utilisation des mots images et affixes. Au début, je ne voyais pas les nombres complexes comme une application qui est morphisme bijectif.

Amadou

Je ne comprends pas ce passage, où il est dit ce qui contredit le fait que $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbb{R}$ étant donné qu'on a $i=-...$.

Amadou

Paco_del_Rey a dit :

Le verbe "correspondre" est flou. Il doit être évité autant que possible si on veut être précis. Dans la citation, il ne fait pas apparaitre la différence de nature entre un point (du plan) et son affixe (un nombre complexe).

Par exemple, on peut multiplier deux nombres complexes, mais on ne peut pas multiplier - sauf à en donner une définition ad hoc - deux points du plan.

En espérant avoir éclairci la situation. Détailler à outrance ne rend pas les choses plus claires.

Paco.

Salut ! Bien noté. Et merci pour l'aide apporté. Tout est clair pour moi maintenant. 

Thierry Poma

Si l'on avait $y_1-y_2\ne0$, alors $i$ appartiendrait à $\R$ (ce qui est visible dans la démo), tout en sachant que $i^2=-1$, identité qui nous conduirait à une contradiction structurel concernant le corps (totalement ordonné) $\R$.

Rappel : que que soit $x$ réel, $x^2\geqslant0$

Amadou

@Thierry Poma si je comprends bien. On a $i=-\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}$ donc $i^2 =\left(-\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}\right)^2$ alors $\left(\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}\right)^2 =-1 > 0.$
Mais, ce que je ne saisis pas, c'est qu'au départ il est précisé que $y_1-y_2\neq 0$, mais à la fin, on arrive à la conclusion que $y_1=y_2$ et $x_1=x_2$. Je ne vois pas où est utilisé la définition de la contraposée de l'injection.

JLapin

Une fois que tu as établi (par l'absurde) que $y_1=y_2$, il est très simple d'en déduire $x_1=x_2$.

Amadou

@JLapin je crois que j'ai compris maintenant. Merci pour le coup de pouce. 

J'y ai aussi pensé à celà, mais je me demande si mon raisonnement est bien correct.
Puisqu'on a $(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)=0$ alors $(x_1-x_2)^2=-(y_1-y_2)^2$ donc $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=0$. Pour que cette somme soit nul il faut et il suffit que les deux termes soit tous nuls. Alors $x_1-x_2=0$ et $y_1-y_2=0$. Donc $x_1=x_2$ et $y_1=y_2$.

JLapin

Oui, c’est correct.

Amadou

@JLapin merci pour la vérification.