Espérance

Marie_Paris

Bonjour, 

Ma question peut paraître simple, mais je n'arrive pas à comprendre comment on calcule l'espérance (surtout pourquoi on obtient (1-F(u))^2 ?

Merci pour votre aide !

NicoLeProf

On a : $E[N(u)]=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{+\infty} k. \mathbb{P}(N(u)=k)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} k F(u)^{k-1} (1-F(u))$ car $N(u)$ suite une loi géométrique de paramètre $1-F(u)$.

On obtient par la suite : $E[N(u)]=\displaystyle (1-F(u)) \sum\limits_{k=1}^{+\infty} k F(u)^{k-1}$.

C'est là que ça se complique. On fixe $x \in [0;1[$. La série entière $\displaystyle \sum_{k \geq 0} x^k$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0;1[$ car son rayon de convergence vaut $1$ et on a : $\displaystyle \left (\sum_{k=0}^{+\infty} x^k \right)'=\sum_{k=1}^{+\infty} k x^{k-1} $. De plus, on a : $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} x^k=\dfrac{1}{1-x}:=g(x)$.

On applique maintenant ce résultat à $F(u) \in [0;1[$ et on obtient : $E[N(u)]=\displaystyle (1-F(u)) \left (\sum_{k=0}^{+\infty} x^k \right)'(F(u))= (1-F(u)) g' (F(u))=(1-F(u)) \times \dfrac{1}{(1-F(u))^2}$ (car pour tout $x \in [0;1[$, $g'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}$).

En espérant que ce soit clair et convenablement expliqué. Sinon, je laisse les autres intervenants améliorer la rigueur de mon explication.

gebrane

C'est le cours, si X suit une loi géométrique de paramètre p alors $E(X)=\frac1p$ 

Marie_Paris

Merci beaucoup, Nico et Gebrane, j'ai compris les deux solutions.
Bonne journée !
Marie