Programme de calcul

taimanov

Bonjour,

Question:
Existe-t-il des nombres tels que leur carré se met sous la forme 5n+57?

Contexte:
Au lycée (Seconde), en séance algorithmique, je crée avec les élèves un programme de calcul. Cela donne:
Choisir un nombre entier
Ajouter 8
Multiplier par 5
Soustraire 8
Prendre la racine carrée.

Je dis (pour occuper les meilleurs): trouvez moi un nombre, et même tous les nombres, qui vont me donner un nombre entier.

On cherche n tel que sqrt[5(n+13)-8] est entier, c'est à dire:
sqrt(5n + 57) est entier.
Si j'appelle m cet entier, alors:
m² = 5n+57.

Merci!

gerard0

Bonjour.

$5n+57=2 [5]$

Or les restes des carrés modulo 5 sont 0,1,4,4,1, jamais 2.

Par contre, ton programme ne donne pas 5n+57 (tu as dit "ajouter 8"). Si c'est bien "ajouter 8" ça donne 5n+32, qui a aussi 2 comme reste modulo 5.

Cordialement.

taimanov

Désolé, mon programme c'est ajouter 13 (et non ajouter 8).

OK, merci, super!
Comment démontres-tu à des seconde que les restes des carrés modulo 5 sont 0,1,4,4,1, jamais 2?

gebrane

on veut donc trouver les entiers \( n \) tels que \( 5n + 57 \) est un carré parfait, soit l"eq ;

\[5n + 57 = k^2\]

où \( k \) est un entier. autrement dit 

\[n = \frac{k^2 - 57}{5}\]

Pour que \( n \) soit un entier, il faut que \( k^2 - 57 \) soit divisible par 5. Cela implique que \( k^2 \equiv 57 \pmod{5} \). or 

\[57 \equiv 2 \pmod{5}\]

Donc, on se ramene à l equation

\[k^2 \equiv 2 \pmod{5}\]

 Il n'existe  pas d'entier \( k \) tel que \( k^2 \equiv 2 \pmod{5} \). Pourquoi ?

 Considérons les restes possibles de \( k \) modulo 5, c'est-à-dire \( k \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \pmod{5} \). On calcule  \( k^2 \pmod{5} \) pour chaquue  cas :

- Si \( k \equiv 0 \pmod{5} \), alors \( k^2 \equiv 0^2 = 0 \pmod{5} \).

- Si \( k \equiv 1 \pmod{5} \), alors \( k^2 \equiv 1^2 = 1 \pmod{5} \).

- Si \( k \equiv 2 \pmod{5} \), alors \( k^2 \equiv 2^2 = 4 \pmod{5} \).

- Si \( k \equiv 3 \pmod{5} \), alors \( k^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5} \).

- Si \( k \equiv 4 \pmod{5} \), alors \( k^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5} \).

donc 

\[k^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{5}\]

donc que les carrés parfaits modulo 5 ne peuvent jamais donner le reste 2. 

gerard0

En seconde, j'imagine qu'on n'a pas les "modulo", les congruences, mais le reste par division par 5 donne la même chose? Pour $5n+57=5(n+11)+2$ c'est 2 et pour les carrés, en testant les différents restes possibles de $n$, on aura les restes possibles pour $n^2$; par exemple, si le reste est 3, c'est que $n=5k+3$ donc $n^2=25k^2+30k+9 = 5(5k^2+6k+1)+4$ et le reste est 2.

C'est le calcul des congruences sans le dire.

Cordialement.

taimanov

Parfait, merci beaucoup!