Exercice de dénombrement pour lycée

Piteux_gore

Bonjour,
On fabrique un cube à partir de $n^3$ petits cubes, puis on peint en rouge les cinq faces visibles.
Calculer le nombre de petits cubes peints sur zéro face, une face, deux faces, trois faces, quatre faces, cinq faces, six faces ?
Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

> ... on peint en rouge les cinq faces visibles

Où vois tu cinq faces ?

Cordialement,
Rescassol

lourrran

On peut supposer que notre assemblage est posé sur une table, et donc une des 6 faces ne peut pas être peinte.

Piteux_gore

Le cube n'est pas suspendu en l'air, mais construit sur un support plan.
J'avais proposé il y a quelques années un exercice du Ramis 1970, où un aveugle démolissait le cube puis le remontait... Il fallait calculer la probabilité pour que l'aveugle obtînt le cube originel.

Soc

4 types de cubes. On les compte. Ensuite on calcule la probabilité en tenant compte aussi de l'orientation des cubes.
J'ai la flemme mais ça devrait bien se passer! En revanche je veux bien calculer la proba si l'aveugle reconnait au toucher les faces peintes, ce qui ne devrait pas être trop dur pour lui, et du coup pour moi.

lourrran

Si l'aveugle reconnaît au toucher les faces peintes, et si en plus l'aveugle a l'envie de remonter le cube 'conforme', ça ne devrait pas être trop dur...

Fin de partie

Si je comprends bien la question, il y a exactement $4$ petits cubes qui ont trois faces peintes exactement. Il n'y a aucun petit cube avec plus de trois faces peintes, $4(n-1)$ petits cubes qui ont exactement deux faces peintes, si $n>1$.

PS:

Le nombre de petits cubes qui n'ont aucune face peinte est $(n-1)^3$

plsryef

le nombre de cubes non peints est plutôt $(n-2)^3+(n-2)^2$

Fin de partie

@plsryef : J'ai oublié les cubes qui sont à la base mais qu'on ne voit pas et qui pourtant sont sur l'enveloppe externe du cube, et le cube qu'on obtient en enlevant l'enveloppe externe du grand cube est en effet composé de $(n-2)^2$ petits cubes et pas $(n-1)^3$.

plsryef

pour deux faces c'est $4(n-2)+4(n-1)$... la face cachée modifie des choses @Fin de partie en effet, à un moment j'ai cherché pour 4,5,6 faces (...) arf, ça fait des cas particuliers.

Fin de partie

Le nombre de petits cubes qui ont seulement une face peinte est certainement $5(n-2)^2$.

C'est tous les petits cubes qui n'ont aucune face sur une arête et il ne faut compter les petits cubes qui ont cette propriété mais qui  ont une face qui touche la table sur laquelle est posée le cube.

plsryef

$5(n-2)^2+4(n-2)$ pour une face.

lourrran

On a un cas particulier, $n=1$ : dans ce cas, notre unique petit cube a 5 faces peintes.
Pour $n>1$ :
Les petits cubes qui ont 3 faces peintes : $4$
Les petits cubes qui ont 2 faces peintes : les 4 arêtes verticales , et les 4 arêtes horizontales en haut, donc $4(n-1)+4(n-2)$
Les cubes avec 1 seule face peinte : les faces latérales, et la face du haut : $4(n-1)(n-2) + (n-2)^2$
Les cubes qui n'ont aucune face peinte : un parallélépipède rectangle de hauteur $n-1$ : $(n-2)^2*(n-1)$

Resterait à contrôler que la somme donne $n^3$, mais je suis confiant.

Piteux_gore

J'ai trouvé ceci
0 face peinte = $(n - 2)^2(n - 1)$
1 face peinte = $4(n - 2)(n - 1) + (n - 2)^2$
2 faces peintes = $4(n - 2) + 4(n - 1)$
3 faces peintes = $4$.

lourrran

Et pour la proba d'obtenir un cube conforme en plaçant les petits cubes au hasard.
Si $n=1$, $p= \frac{1}{6}$
sinon : 
$p=\dfrac{4! \times (8n-12)! \times ((n-2)(5n-6))! \times ((n-2)^2(n-1))!}{(n^3)! \times 8^4 \times 12^{8n-12} \times 6^{(n-2)(5n-6)}} $

Piteux_gore

J'ai ce résultat dans mes tablettes
$(n - 2)^3!6(n - 2)^2!12(n - 2)!8!/n^3!6^{6(n - 2)^2}.8^8.12^{12(n - 2)}$.

lourrran

Ce résultat semble correspondre au cas suggéré par Rescassol : j'ai un cube, et je peins les 6 faces (et non 5).
En particulier les facteurs $(n-2)^3 !$ et $8!$  nous orientent fortement dans cette direction.

plsryef

euh... placer au hasard... les cubes sont simplement translatés ? ou ils peuvent tourner ?

lourrran

Tu ne peux pas imaginer le nombre d'heures que j'ai passées à jouer avec un puzzle de ce type quand j'étais gamin, et je peux t'assurer que les cubes, ils tournaient.

Piteux_gore

Le résultat que j'ai cité correspond effectivement à un cube peint en rouge sur ses six faces.

plsryef

Peut-être que c'est pas la même réponse, enfin je voulais comprendre la question.

lourrran

Si on ne peut pas tourner les petits cubes, c'est effectivement un tout autre exercice !