PGCD et matrices inversibles
Bonjour,
J'espère que cet exercice n'est pas trop difficile. Q1 et Q2 semblent abordables, pour Q3 je ne sais pas si la question est accessible.
Oral Mines Ponts MP 2 024 :
Dans l'anneau $\mathcal M_n(\Z)$, on note $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal M_n(\Z)$.
1) Quelle est la structure algébrique de $I$ ?
2) Soit $A \in \mathcal M_n(\Z)$. Montrer que $A \in I \iff \det(A) \in \{-1,1 \}$.
3) $\forall X \in \mathcal M_{n,1} (\Z)$, on note $\alpha(X)=pgcd(x_1, \cdots, x_n)$.
Montrer que : $A \in I \iff \forall X \in \mathcal M_{n,1} (\Z) \ , \ \alpha(AX)=\alpha(X)$.
J'espère que cet exercice n'est pas trop difficile. Q1 et Q2 semblent abordables, pour Q3 je ne sais pas si la question est accessible.
Oral Mines Ponts MP 2 024 :
Dans l'anneau $\mathcal M_n(\Z)$, on note $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\mathcal M_n(\Z)$.
1) Quelle est la structure algébrique de $I$ ?
2) Soit $A \in \mathcal M_n(\Z)$. Montrer que $A \in I \iff \det(A) \in \{-1,1 \}$.
3) $\forall X \in \mathcal M_{n,1} (\Z)$, on note $\alpha(X)=pgcd(x_1, \cdots, x_n)$.
Montrer que : $A \in I \iff \forall X \in \mathcal M_{n,1} (\Z) \ , \ \alpha(AX)=\alpha(X)$.
Réponses
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Il ne manque pas une info dans l'énoncé ?
$\mathcal GL_n(\Z)$ est l'ensemble des matrices inversibles à coefficients entiers de $\mathcal M_n(\R)$ dont l'inverse est aussi à coefficients entiers.
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Hello OShine, il ne manque pas d'infos dans l'énoncé non, on ne peut pas noter $I$ sous la forme $GL_n(\mathbb{Z})$ car je crois que cette notation est réservée à un ensemble de matrices inversibles à coefficients dans un corps commutatif $\mathbb{K}$ et $\mathbb{Z}$ n'est pas un corps. Après, peut-être que cette notation peut être tolérée si elle est bien définie, je ne sais pas.
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
La Q2 est facile Oshine , non?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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1) $M_n(\Z)$ est un sous-anneau de $M_n(\R)$ c'est donc un anneau.
C'est la réponse attendue ? -
Bonjour,$\mathrm{GL}_n(A)$, ça marche pour tout anneau commutatif $A$, et $I=\mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$.Pour la question 3, quelques indications :implication de gauche à droite : si $d$ divise les coordonnées de $X$ et $B\in M_n(\mathbb Z)$, alors $d$ divise aussi les coordonnées de $BX$implication de droite à gauche ; on peut commencer par montrer que $A$ est inversible sur $\mathbb Q$, puis que pour tout vecteur $E_i$ de la base canonique il existe $X$ à coeffcients entiers tel que $AX=E_i$.
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Bah non OS, ce n'est pas la réponse attendue car on veut connaître la structure algébrique de $I=GL_n(\mathbb{Z})$ et non celle de $M_n(\mathbb Z)$.
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NicoLeProf a dit :Bah non OS, ce n'est pas la réponse attendue car on veut connaître la structure algébrique de $I=GL_n(\mathbb{Z})$ et non celle de $M_n(\mathbb Z)$.
Ah d'accord.
Je pensais à la structure de groupe mais l'inverse n'est pas forcément à coefficient entiers.
Sinon on peut dire que c'est un groupe additif. -
@GaBuZoMeu
Merci je garde tes indications pour le moment où j'arriverai à Q3. -
L'ensemble \( I \) des matrices inversibles dans \( M_n(\mathbb{Z}) \) a donc la structure d'un groupe multiplicatif, mais ce n'est pas un sous-anneau de \( M_n(\mathbb{Z}) \)
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OShine a dit :NicoLeProf a dit :Bah non OS, ce n'est pas la réponse attendue car on veut connaître la structure algébrique de $I=GL_n(\mathbb{Z})$ et non celle de $M_n(\mathbb Z)$.
Ah d'accord.
Je pensais à la structure de groupe mais l'inverse n'est pas forcément à coefficient entiers.
Sinon on peut dire que c'est un groupe additif.Ah bon? Que penses-tu du calcul suivant : $-I_n+I_n$? Où je note $I_n$ la matrice identité de taille $n \times n$.Ou plus simplement, quel est l'élément neutre pour l'addition?En fait si, tu peux montrer que c'est un groupe multiplicatif (la réponse est d'ailleurs sous-entendue par GBMZ puisqu'il a écrit $I=GL_n(\mathbb{Z})$).Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
OShine a dit :
Je pensais à la structure de groupe mais l'inverse n'est pas forcément à coefficient entiers.
Sinon on peut dire que c'est un groupe additif."inversible de $M_n(\mathbb Z)$", ça veut dire qu'elle a un inverse dans $M_n(\mathbb Z)$.La somme de deux matrices inversibles n'a pas de raison d'être inversible : $I_n + (-I_n) = {?}$ -
Ah d'accord merci.
Je vais essayer de montrer que c'est un groupe multiplicatif.
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Pour Q3 on peut aussi remarquer que pour tout $x_1,..,x_n\in \Z$, l'idéal engendré par $x_1,..,x_n$ est égal à l'ensemble $\{Y^t\cdot X\mid\; Y\in \Z^n\}$.
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Je trouve que l'énoncé est maladroit.
Pour Q1 on a besoin de Q2. -
Haha j'ai cru la même chose au début, mais en fait non... C'est plus subtil que cela en a l'air. Je m'explique :la remarque de GBMZ ici est essentielle !!!1) La matrice $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible dans $M_2(\mathbb{R})$ et même dans $M_2(\mathbb{Q})$ mais pas dans $M_2(\mathbb{Z})$, comment cela se fait-il?2) La matrice $I_2$ (identité de taille $2 \times 2$) est inversible dans $M_2(\mathbb{Z})$ car ...En fait, on note $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $M_2(\mathbb{Z})$ et comme l'a signalé GBMZ, être inversible dans $M_2(\mathbb{Z})$ signifie être inversible et dont l'inverse est dans $M_2(\mathbb{Z})$.Ainsi, attention à bien comprendre cette terminologie pour que la démo de Q1 soit simple et efficace. Et tu verras bien que nous n'avons pas besoin de Q2.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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L'énoncé est maladroit ?
Il y a une autre hypothèse, un peu plus plausible, c'est que tu n'as pas répondu correctement à Q1.
Quand tu écris que c'est un groupe additif, par exemple... alors qu'il suffit de réfléchir un dixième de seconde pour s'apercevoir que c'est faux.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@NicoLeProf
1) Son inverse n'est pas à coefficients entiers.
2) Ok.
J'avais fait ça mais en fait pour le produit c'est inutile d'utiliser Q2.
$MN$ est à coefficients dans $\Z$ car le produit matriciel ne fait apparaître que des additions et des produits.
$\det(MN)=\det(M) \det (N) \ne 0$.
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Pas besoin de Q2 pour Q1.L'ensemble des éléments inversibles de n'importe quel anneau (et de $M_n(\mathbb Z)$ en particulier) est un groupe multiplicatif.Si $a$ et $b$ sont des éléments inversibles de l'anneau $A$, alors $ab$ est inversible d'inverse ...
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L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau est un groupe en effet.
Résultat de sup.
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La question 3 me semble être une montagne infranchissable, malgré les indications.
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Si je dis que c'est impossible de sauter 2m en hauteur, c'est vrai ou pas ?
Oui, c'est vrai, je suis totalement incapable de sauter 2m en hauteur. Et je sais que je n'y arriverai jamais. Cette barrière est infranchissable pour MOI.
Mais je suis parfaitement conscient que sauter 2m en hauteur, c'est à la portée de pas mal de sportifs.
Oui, une fois de plus, tu n'as pas écouté les conseils, et tu as tenté de franchir une barre beaucoup trop haute.
Moi, si je voulais progresser en saut en hauteur, j'essaierai déjà de franchir une barre à 1m de haut, pour voir.
Et si ça ne passe pas, je vais tenter 80cm.
Et quand je saurai passer 80cm régulièrement, à chaque tentative, j'essaierai avec une barre à 90cm. Je ne tenterai pas 2m tout de suite sous prétexte que j'arrive à passer 80cm.
Et toi, tu ferais comment si tu voulais progresser en saut en hauteur ?
Et tu ferais comment si tu voulais progresser en maths ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Oui je dois redescendre à un niveau plus bas.
Je crois avoir compris une implication, la plus simple.
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La fin de la première implication.
Pour la seconde implication c'est la page blanche.
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Pour la seconde implication j'ai un problème.
C'est quoi le lien entre $\alpha(X)=\alpha(AX)$ et le fait que $A$ soit inversible ? -
Ah je crois que j'ai compris.
Il faut utiliser les idéaux.
On a $\forall i \in [|1,n|] \ x_i \in y_1 \Z + \cdots + y_n \Z$ donc $A$ est inversible et $\det(A) \ne 0$ ce qui montre que $A$ est inversible dans $\mathcal M_n(\Q)$. -
Je ne comprends pas ton argument ci-dessus... Pour montrer que $A$ est inversible dans $M_n(\Q)$ tu peux considérer un vecteur colonne $X$ dans le noyau (donc $AX=0$) et utiliser la relation $\alpha(X)=\alpha(AX)$ pour conclure... (enfin mudulo une petite modif car ton $X$ à ce stade a ses coeff dans $\Q$).
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Ah d'accord je n'étais pas convaincu moi-même.
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Je crois que @raoul.S utilise que le pgcd du vecteur nul est zéro. on peut le voir de la façon suivanteLe pgcd de \(x_1, \dots, x_n\) est l'unique entier naturel qui génère l'idéal \(\langle x_1, \dots, x_n \rangle\). Donc, dans le cas, \(\langle 0, \dots, 0 \rangle\) est simplement l'idéal nul, donc le pgcd de $( 0, \dots, 0 )$ est \(0\).Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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@gebrane
Tout à fait. Je suis pas loin de la solution, mais cette histoire d'inversible dans $\mathcal M_n(\Q)$ me tracasse. Pourquoi le mot "corps" est en gras ? A quoi sert cette hypothèse ?
Je ne comprends pas la première preuve, j'ai regardé ce document pour m'aider.
Par contre la variante est facile.
Pour montrer qu'une matrice $A$ est inversible dans $\mathcal M_n(\Q)$, il suffit de montrer que $\det(A) \ne 0$ ?
@raoul.S
Pourquoi on prend $X$ à coefficients rationnels ? Quel est le lien avec le fait que $A$ est inversible dans $\mathcal M_n(\Q)$ ?
Il y a une lacune que je traîne qui m'empêche de finir le raisonnement.
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Le mot corps est en gras ... On parle de $M_n(Z)$ ; $Z$ n'étant pas un corps, on n'a pas tous les outils nécessaires.
On nous rappelle que $M_n(Z)$ est inclus dans $M_n(Q)$, et $Q$ étant un corps, on a plus d'outils : si $M$ est une matrice inversible de $M_n(Q)$, $M^{-1}$ a des coefficients dans $Q$Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@lourran
D'accord pour le passage encadré.
Mais quand @raoul.S parle de prendre un vecteur dans $\mathcal M_{n,1} (\Q)$, je ne comprends pas le rapport avec $A$ inversible dans $\mathcal M_n( \Q)$.
Dans le TOUT EN UN MPSI, ces détails ne sont pas expliqués.
La définition d'un inversible dans mes livres est simple et ne comporte pas des subtilités comme ici. -
Oshine, je ne pense pas qu'on ait absolument besoin de prouver l'inversibilité dans $\mathbb{Q}$ pour réussir la Q3, mais il faut à mon avis utiliser la Q2. Par l'absurde, si \( A \) n'est pas inversible dans $M_n(Z)$, il existe un nombre premier \( p \) tel que \( p \mid \det(A) \), et donc \( A \) n'est pas inversible dans \( \mathcal{M}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \). C'est-à-dire qu'il existe un vecteur \( X \) non nul dans \( (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \) tel que \( AX = 0 \), ce qui contredit le fait que \( \gcd(X) = \gcd(AX) \).
@lourrran, J'ai faux?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
La notion de $PGCD$ dans un anneau quotient me semble hors-programme.
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Une matrice de $M_n(A)$ (avec A un anneau) est inversible si et seulement si son déterminant est un inversible de A. Si A est un corps, il suffit que le déterminant soit non nul
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La notion de matrice à coefficients dans Z/pZ n'est pas au programme Oshine ?. Pour le PGCD, il s'agit du PGCD de braves nombres dans Z.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Intéressant cette définition qu'on ne trouve pas dans les cours de prépa qui ne traitent que les cas $\R$ et $\C$.Etienne91 a dit :Une matrice de $M_n(A)$ (avec A un anneau) est inversible si et seulement si son déterminant est un inversible de A. Si A est un corps, il suffit que le déterminant soit non nul
Et si on raisonne avec le noyau comme le conseille @raoul.S ici quelle est la définition ?
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Ce n'est pas une définition, c'est une proposition.
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Le rapport est qu'une façon de montrer qu'une matrice carrée à coefficients dans un corps ($\Q$ par exemple) est inversible est de montrer que son noyau est trivial (réduit à $\{0\}$). Donc tu considères un vecteur $X$ à coefficients rationnels dans le noyau et tu montres que $X$ est nul.OShine a dit :Mais quand @raoul.S parle de prendre un vecteur dans $\mathcal M_{n,1} (\Q)$, je ne comprends pas le rapport avec $A$ inversible dans $\mathcal M_n( \Q)$. -
Jlapin, La preuve que j'ai proposée est copiée de celle de raoul, qui utilise un vecteur X tel que AX=0,
et oui, je suis Jack le pirate.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Ce passage de wikipédia est très intéressant.
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Le niveau de Q3 est stratosphérique.
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Bonjour!
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