Géométrie plane et algèbre de L.Lafforgue. "Sorte" c'est quoi?

Jean-Louis

Dans la définition I.1 de son ouvrage L.Lafforgue écrit "on appelle langage du premier ordre la donnée de

. une collection de noms d'objets ( ou "sortes"),

...

Dans la suite du texte je ne comprends pas très bien à quoi sert ce vocable (sorte) .

Une âme charitable pourrait-elle m'éclairer?

Merci et bon week-end.

Jean-Louis.

Foys

C'est la même chose qu'un type.

La logique formelle ne présuppose pas forcément la théorie des ensembles. Donc pour définir le langage on commence par introduire des "ensembles" d'objets fixés une fois pour toutes, sur lesquels on ne fera pas de raisonnements ensemblistes.

Par exemple en géométrie on fixerait la sorte des points et celle des droites, avant de proposer des axiomes spécifiques.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Par exemple, dans un langage de la géométrie plane, on peut avoir deux sortes :  la sorte "Point" et la sorte "Droite" et une relation binaire d'incidence de signature (Point, Droite).

C'est ce que je pense comprendre (et c'est l'usage habituel du concept de sorte pour un langage du premier ordre.

Autre exemple, pour la théorie des espaces vectoriels sur un corps non fixé, une sorte "Scalaire" et une sorte "Vecteur".

Jean-Louis

OK. Merci Je crois comprendre. Ah, que c'est dur la logique....

Cordialement.

Jean-Louis.

GaBuZoMeu

Bah, pas plus qu'autre chose en mathématiques ...

Jean-Louis

Certains trouvent la géométrie projective compliquée, moi je l'adore depuis que mon prof de sup me l'a faite découvrir. Et en plus avec les mystérieux points cycliques, les invraisemblables droites isotropes, quel bonheur. par contre pour moi le plus ardu en maths c'est le calcul tensoriel....Avec tous ces indices, on s( y perd...

Bonne soirée.

Jean-Louis.

GaBuZoMeu

La légende taupinale racontait que notre prof, après quelques verres, se mettait à voir les points cycliques.

Thierry Poma

Bonjour

Je t'invite à examiner l'exemple I.4, page 20 et l'exemple I.6, page 22. L'exemple que cite @GaBuZoMeu est le I.2. Dans chacun de ces exemples, l'on y considère en général deux sortes.

Thierry Poma

Comme l'indique l'auteur, une notation du type\[1\quad:\quad\rightarrow{}G\]signifie que l'on a affaire à un symbole de fonction d'arité nulle, donc à un symbole de constante.

GaBuZoMeu

Pour les corps valués, on voit fréquemment l'utilisation de trois sortes : une pour le corps, une pour le groupe de valuation et une pour le corps résiduel.

jelobreuil

Bonsoir à tous,

J'avoue que je ne saisis pas bien (pour ne pas dire "pas du tout" ...) la raison pour laquelle on se lance aussi loin dans l'abstraction : pour moi, amateur lambda de géométrie, un point c'est un point, une droite, c'est une droite, un cercle c'est un cercle ... Même si je puis comprendre qu'on puisse voir une droite comme un cercle de rayon infini, je ne vois pas ce que cela apporte d'aller toujours plus loin dans la conceptualisation des mathématiques ... Je sais bien ce que vous allez me répondre, qu'il faut unifier tous les domaines des mathématiques pour qu'ils n'en fassent plus qu'un seul qu'on appellera "la mathématique" ...

Vous vexerai-je si je vous dis que de mon point de vue de béotien, cela s'apparente assez à la quête du Saint-Graal ? 

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Barjovrille

jelobreuil a dit :

Bonsoir à tous,

J'avoue que je ne saisis pas bien (pour ne pas dire "pas du tout" ...) la raison pour laquelle on se lance aussi loin dans l'abstraction

jelobreuil a dit :

Je sais bien ce que vous allez me répondre, qu'il faut unifier tous les domaines des mathématiques pour qu'ils n'en fassent plus qu'un seul qu'on appellera "la mathématique" ...

Bonjour @jelobreuil , je ne pense pas que la raison première soit l'unification. Quand on est bloqué sur une question, pour essayer de s'en sortir, on essaye d'introduire des nouveaux concepts pour se débloquer et pour mieux comprendre/décrire la situation. En général quand de nouveaux concepts sont introduits, les concepts d'avant ne suffisaient pas, donc on s'attend à ce qu'ils soient plus sophistiqués (mais en contrepartie le problème devient plus simple à résoudre).

raoul.S

jelobreuil a dit :

Bonsoir à tous,

J'avoue que je ne saisis pas bien (pour ne pas dire "pas du tout" ...) la raison pour laquelle on se lance aussi loin dans l'abstraction : 

@jelobreuil C'est comme si tu allais à la mer pour rester cloîtré dans ton hôtel en disant : on est bien dans l'hôtel, j'ai tout ce qu'il me faut, pourquoi devrais-je sortir ?

Lorsqu'on ne se regarde pas assez autour on passe à côté de choses très intéressantes. Les matheux des siècles passés se sont cassés les dents en essayant de démontrer le cinquième postulat d’Euclide à partir des autres postulats, en vain. Pourquoi ? Parce qu'ils ne s'étaient par assez regardés autour. En l’occurrence ils n'avaient pas compris qu'ils faisaient de la géométrie dans un "modèle" bien précis mais qu'il y avait beaucoup d'autres modèles de la géométrie. 

Dom

Les sciences expérimentales observent et décrivent ce qui donnent des définitions : une planète du système solaire (quand j’étais petit il y en avait neuf, aujourd’hui il y en a huit). Ils observent et ils rangent, puis ils observent encore et peuvent changer la manière de ranger. 

Les mathématiques : on veut d’abord des définitions pour travailler. Bien sûr l’observation aide à proposer des définitions. La distance n’est-elle qu’euclidienne ? Pour ça on définit ce que l’on veut que soit une distance (trois choses en général) puis on se demande s’il n’existe pas d’autres distances. On ne les observe pas vraiment (sauf la distance de Manhattan ou celle de la SNCF) mais on travaille ensuite sur n’importe quelle distance. 

Idem pour les fonctions continues : l’idée première est « je prends mon crayon et je ne le lève pas ». Mais il faut définir cela sans parler de crayon. On aboutit un jour avec une définition, celle que tout le monde voit en L1. Puis on peut s’interroger : peut-on vraiment relier un point du graphe à un autre sans lever le crayon ? Zut le « on peut », ça désigne quelqu’un ? Parce que la fonction qui vaut 0 en 0 puis sin(1/x) en dehors de 0, elle est bien continue mais personne d’humain ne peut relier les deux points distincts (0;0) et (a;sin(1/a). Le problème n’est pas de lever le crayon. Mais d’osciller indéfiniment au voisinage de 0. On a une autre fonction continue sur un segment que « celles avec le crayon ». 

Et j’oublie qu’en changeant la distance, les fonctions continues ne sont plus nécessairement les mêmes. Puis on parle d’ouverts et de fermés. 

On fouille, et on fouille mais pas dans le visible. On fouille dans les « concepts » (si on peut le dire comme ça).