Plongement d'un espace affine dans un espace vectoriel

stfj

Bonjour,

[Edit : en tenant compte des remarques de gerard0 et pldx1]

Comme on m'accuse ailleurs d'écrire n'importe quoi en sortant des phrases de leur contexte, je vous propose ici de construire mathématiquement un espace vectoriel $\widehat{X}$ associé à un espace affine $$(X,\vec X,\phi)[^1]$$ sur un corps $K$ tel que $X$ soit un hyperplan affine de $\widehat{X}$, de direction $\vec X$.

Je referai la construction de Georges Glaeser reprise par Jean Frenkel en 1973, dans le livre Géométrie pour l'élève professeur, qu'il a écrit entre autres grâce aux encouragements de Michel Zisman et de Marcel Berger.

Des buts sont de justifier des notations telles que $$\boxed{\frac13(A+B+C)}$$ qu'on utilise dans le calcul barycentrique, ou encore de compléter projectivement $X$ en l'espace projectif $$\boxed{\widetilde{X}\doteq \mathbb P_K(\widehat{X})}$$Cela commence par la définition classique d'un champ de vecteurs sur $(X,\vec X,\phi)$. J'avoue que c'est un peu long et pas forcément intéressant intrinséquement mathématiquement. Mais je reste disponible pour plus d'informations sur le sujet.

Cordialement.

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$^1.-$ Sauf erreur parce que c'est un vrai bazar dans les notations de Frenkel que je vais néanmoins respecter, $\phi$ désigne une opération simplement transitive du groupe additif de l'espace vectoriel $\vec X$ sur l'ensemble $X$.

gerard0

Donc tu plaides pour la définition des espaces vectoriels comme dérivés des espaces affines ? Les espaces affines étant l'objet premier.Au passage, tu définis dès le départ un espace vectoriel associé à ton espace affine, que tu as noté $\vec X$, comme elle fonde l'espace dont tu parles, il est évidemment canoniquement associé. Pourquoi en construire un autre ?

Cordialement.

stfj

Bonjour @gerard0 : 

Je ne plaide pour rien. 

Je me contenterai de reprendre mot pour mot pour celles et ceux intéressés la construction de Glaeser traduite par Frenkel, avec les notations de Frenkel. 

Ce n'est déjà pas une mince affaire car Frenkel est d'une précision chirurgicale.

Par exemple, il n'y a pas moins que trois définitions d'un espace affine avec notations ad hoc, explicititations des liens entre les définitions. C'est pas compliqué mais c'est technique. 

On est en 1973 et Frenkel s'adresse à des agrégatifs, "aux professeurs de mathématiques spéciales et à ceux qui s'intéressent à la formation continue." 

A priori, c'est aussi des notations utilisées par Marcel Berger.

Je crois me rappeler que @Foys m'avait demandé de faire cette construction pour justifier un de mes propos ailleurs; mais devant l'ampleur de la tâche et le peu de place disponible dans les réponses habituelles, j'avais renoncé. Mais pourquoi pas ici s'il y a des gens intéressés ?

Cordialement.

Thierry Poma

@stfj : bonjour. Tu te trompes ; ce n'est pas le vrai bazar dans les notations de Frenkel. C'est limpide !

stfj

Par exemple, tout le monde$^1$ note $A+u$ au lieu de $\phi(u,A)$ $$\boxed{A+u\doteq \phi (u,A)}$$pour l'opération $$\phi : \vec 

X \times X\to X$$ $$\quad \quad \quad (u,A)\mapsto \phi(u, A)$$

Je m'autoriserai évidemment cette notation commode.

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$^1.-$

- Mac Lane et Birkhoff dans Algèbre, tome II, les grands théorèmes, chapitre XII, §2

- Dixmier, cours de 1ère année, 12.7.1 (au passage, je rappelle que Dixmier écrit à propos de ce § du chapitre XII, "trop abstrait", l'intégralité du chapitre étant qualifiée de "peu important" )

- Ferrand, Les fondements de la Géométrie, PUF, 1985

stfj

@Thierry Poma : bonjour, tu as raison. Je suis un admirateur de cette limpidité de Géométrie pour l'élève professeur. Mais elle a un sacré coût : c'est ce que j'ai expliqué à @gerard0 . Par contre, vu que ça fluidifie tout le calcul dans un espace affine, c'est un coût raisonnable. Si je commets des erreurs mathématiques dans la suite, je t'invite à les corriger. Cordialement.

stfj

Jean note $\mathscr V(X)$, l'ensemble des champs de vecteurs sur $X$. Comme $\vec X$ est un espace vectoriel, $\mathscr V(X)$ a une structure naturelle d'espace vectoriel dans lequel il va travailler.

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 Il définit d'abord un champ constant pour $h\in \vec X$ $$f_h:X\to \vec X$$ $$x\mapsto h$$et désigne par $\mathscr C(X)$ l'ensemble des champs constants. C'est un sev de $\mathscr V(X)$, isomorphe à $\vec X$.

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Vient ensuite la déf classique d'un champ de forces central, pour $k\in K^*\doteq K-\{0\}$ et $a\in X$ $$f_{k,a}:x\mapsto k\cdot \overrightarrow {xa}$$Il note $\mathscr C'(X)$ l'ensemble des champs de forces centraux. Je passe les détails et invite à poser des questions sur d'éventuelles zones d'ombre mais $\mathscr C'(X)$ est en bijection naturelle avec $K^*\times X$. On a $$\lambda\cdot f_{k,a}=f_{\lambda k, a}$$

On commence, j'espère, à voir poindre la structure d'espace vectoriel que je souhaite mettre en évidence.

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THEOREME. L'ensemble $\mathscr D(X)=\mathscr C(X)\cup \mathscr C'(X)$ est un sev de $\mathscr V(X)$. L'application $\varphi: \mathscr D(X)\to K$ définie par $$\begin{cases}\varphi[f_{k,a}]=k \\ \varphi(f_h)=0\end{cases}$$est une forme linéaire sur $\mathscr D(X)$, et l'application $a\to f_{1,a}$ de $X$ dans $\mathscr D(X)$ est un isomorphisme affine de l'espace affine $X$ sur l'hyperplan affine $\varphi^{-1}(1)$ de $\mathscr D(X)$.

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Ceux qui connaissent la catégorie véto de Formes quadratiques chez Calvage et Mounet, poursuivront sans peine.

stfj

C'est après cette construction que Frenkel écrit qu' "un espace affine n' "existe pas" mathématiquement", @Julia Paule . Voilà dans quel "contexte" . Ce sont tout sauf des paroles en l'air. J'espère que c'est un peu plus clair. @Thierry Poma pourra confirmer que j'ai recopié peu ou prou ce qu'il écrit en 1973 et peut-être nous éclairer davantage. Cela donne une réponse à la discussion de @Foys : de cette manière, il n'existe pas d' "espace affine sans origine "naturelle" ". Pour reprendre une phrase de Frenkel que j'ai déjà citée :

$$\text{"Le monde qui nous entoure nous apparaît homogène parce que son centre n'est pas de ce monde!"}$$Toujours est-il, et cela personne ne le contredira, que le livre de Frenkel est un classique pour les enseignants du secondaire de 2024. Il est par exemple cité de façon élogieuse par Michèle Audin dans Géométrie.

pappus

Bonjour à tous

Cette histoire de prolongé vectoriel d'un espace affine est faite un peu partout, le Frenkel évidemment, le Berger qui recopie le Frenkel et bien d'autres mais le plus clair et le plus naturel d'entre tous me semble être l'ouvrage de Madame Lelong-Ferrand: Géométrie, paru au puf et qui utilise pour ce faire les (évidemment défuntes) fonctions vectorielles de Leibnitz.

Il n'y a pas que l'espace affine qu'on prolonge, il y a aussi les applications affines, tout ce fourbi apparaissant comme un objet universel dans une certaine catégorie à définir!

Amicalement

pappus

Exemples:

Quel est le prolongement d'une application constante?

Quel est le prolongement d'une translation?

Quel est le prolongement d'une homothétie?

etc, etc...

stfj

J'ai trouvé cet extrait de Les fondements de la Géométrie(PUF, 1985) de Ferrand, qui donne envie d'en lire davantage. Une discussion avait été consacrée à J.Ferrand.

Julia Paule

Si j'ai bien compris, Jean Frenkel a écrit son livre en 1973, à l'époque des maths dites modernes, où la géométrie enseignée au lycée était celle des espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants, ... . Il faut se situer dans ce contexte : je ne connais pas ce livre mais il écrivait aux "élèves-professeurs" qui n'avaient peut-être jamais enseigné ces matières.

Donc il aurait écrit sa phrase : "un espace affine n' "existe pas" mathématiquement", après cette construction d'un plongement d'un espace affine dans un espace vectoriel.

Ben je dirais qu'il admet que les espaces affines existent mathématiquement puisqu'il en parle et qu'il fait des maths.

En effet, j'ai lu aussi cette phrase de Dixmier (qui m'avait choquée) où il dit que le chapitre sur les espaces affines est "peu important". Le livre a été écrit aussi dans ces années-là : 1ère édition en 1967, cette phrase est dans l'édition de 1979 que je possède.

Cela devait être une mode. Un ami m'a raconté que son professeur de 2nde dans ces années-là a passé toute l'année sur les espaces vectoriels en s'extasiant tout seul au tableau (il découvrait visiblement), sans faire le reste du programme.

Je ne connais pas suffisamment le contexte historique : les Bourbaki ont suivi les méthodes des Allemands au début du XXème siècle, et de là est venu la décision d'enseigner les maths modernes dans les années 60 et 70 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mathématiques_modernes. Cette initiative a été abandonnée au début des années 80.

Donc je t'invite @stfj à remettre les choses dans leur contexte historique.

gai requin

pappus a dit :

Il n'y a pas que l'espace affine qu'on prolonge, il y a aussi les applications affines, tout ce fourbi apparaissant comme un objet universel dans une certaine catégorie à définir!

Amicalement

pappus

Exemples:

Quel est le prolongement d'une application constante?

Soit $X$ un espace affine sur un corps $k$, $A\in X$ et $f:X\to X$, $M\mapsto A$.
Alors l'unique application linéaire $\hat f:\hat X\to\hat X$ qui prolonge $f$ est la projection sur $kA$ parallèlement à $\vec X$.

pappus

Merci gai requin

Peux-tu me décrire la catégorie conduisant à l'existence du prolongement vectoriel $\widehat E$ d'un espace affine $E$?

Je crois que les objets sont les $f:E\mapsto V$ où $V$ est un espace vectoriel et $f$ une application affine.

Quels en sont les morphismes? (Je ne sais plus faire les triangles commutatifs!).

De quel problème universel, le prolongement vectoriel $\widehat E$ est -il solution?

Amitiés

pappus

Barjovrille

Bonjour @pappus , je pense qu'on peut dire les choses de cette façon :

On prend la catégorie des espaces vectoriels muni des morphismes applications linéaires, et la catégorie des espaces affines muni des morphismes applications affines. Soit $X$ un espace affine, alors le prolongement vectoriel $\widehat{X}$ est solution du problème universel suivant : pour tout $V$ espace vectoriel $\mathcal{L}(\widehat{X},V) \cong \mathcal{A}(X,V)$ (isomorphisme entre foncteurs covariants). Où $\mathcal{L}(\widehat{X},V)$ est l'ensemble des applications linéaires $\widehat{X} \to V$ et $\mathcal{A}(X,V)$ est l'ensemble des applications affines $X \to V$.

Avec un diagramme ça donne : Soit $f \in \mathcal{A}(X,V)$, il existe une unique $\widehat{f} \in \mathcal{L}(\widehat{X},V)$ qui fait commuter :

\[\displaystyle \xymatrix{X \ar[rr]^{f} \ar[dd]_{\pi} && V \\ \\ \widehat{X} \ar@{-->}[rruu]_{\widehat{f}}}\]

Avec $\pi \in \mathcal{A}(X,\widehat{X})$ le morphisme qui vient avec "l'objet universel" (il doit être facile à identifier quand on construit explicitement $\widehat{X}$). (Je n'ai pas vérifié si tout marche bien mais ça me semble cohérent).

pappus

Merci Barjovrille

C'est exactement ce que je voulais dire!

Ainsi non seulement les espaces se prolongent mais les applications aussi.

Amicalement

pappus

gai requin

J'ai donné le résultat pour le prolongement d'une application constante.
@stfj voudrait-il bien nous prolonger de la même manière une translation ?

pappus

Mon cher gai requin

Je crois que tu peux attendre longtemps, très longtemps!

Le cas des applications constantes était assez facile puisque pour leur prolongement, on tombait sur quelque chose de simple, à savoir une projection.

Celui des translations l'est un peu moins car leur prolongement est beaucoup moins connu et même inconnu de la plupart des forumeurs.

Nos amis anglais utilisent le mot "shear" (cisaillement) pour le désigner.

Quelle est sa traduction exacte en français?

Amitiés

pappus

Julia Paule

Bonjour. On peut commencer. La translation est de vecteur $u \in \vec X$. Donc sur l'espace vectoriel associé $\vec X$, c'est l'identité, sur la droite vectorielle $kA$, c'est une homothétie (ou l'application nulle). Mais je ne vois pas de quel rapport et comment faire apparaître le vecteur de la translation.
EDIT : au hasard, l'image de $A$ est $u+A$ ou bien $u$.

plsryef

En fait il ne s'agit pas d'ajouter $Id_{\widehat{X}}$ au prolongé de l'application constante ? mais cette application devrait être inversible... un truc m'échappe.

Thierry Poma

Suite à l'intervention de Pappus, lire ceci et ceci. Voir également le livre d'algèbre de Bourbaki, chapitres 1 à 3, la section consacrée aux orbites (A I.54).

Foys

Soit $E$ un espace vectoriel, $\ell$ une forme linéaire non nulle sur $E$, $F:= \ell^{-1} (\{1\})$ et $\vec F:= \ell^{-1}(\{0\}) = \ker (\ell)$. Alors $F$ est un espace affine sur $\vec F$ et pour toute application affine $f: F \to F$ pour cette structure d'espace affine, la fonction $\tilde f:= x\in E \mapsto \vec f(x)$ si $\ell (x) = 0$ et $\ell(x) f \left (\ell(x)^{-1} x \right)$ si $\ell(x) \neq 0$, est une application linéaire de $E$ dans lui-même prolongeant $f$.

On peut considérer le cas où $E$ est de dimension finie non nulle (on l'identifie ci-après à $K^{n+1}$ avec $n\in \N$) et $\ell (x_1,...,x_{n+1}) = x_{n+1}$ (édité) pour tout $n$ (et donc $F = K^n \times \{1\}$),et $f(x_1,..,x_n,1) = (x_1,...,x_{n-1}, 1+x_n,1) = (0,0,0,...,1,0)+ (x_1,...,x_n, 1)$ (NB: lorsque plus haut $f$ est une translation non triviale de $F$ on peut toujours se ramener à ce cas par un changement de base).

Alors on voit immédiatement que $\tilde f$ est une transvection de matrice $I_{n+1} + M$ (édité) avec $M_{i,j}=1$ si $i=n$ et $j=n+1$ et $0$ pour toutes autres valeurs de $i$ et $j$.

Plus généralement avec ces identifications on voit que le groupe des applications affines bijectives de $F$ dans lui-même s'identifie au produit semi-direct de $K^n$ et $GL_n(K)$ (le second muni de son action naturelle sur le premier).

gai requin

@pappus : Une transvection de base $\vec X$.

pappus

Merci gai requin

Exact!

Je n'ose demander quel est le prolongement projectif d'une translation!

Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!

Amitiés

pappus

gai requin

Une homologie spéciale.

stfj

J'ai trouvé le passage de Ferrand cité par pappus. C'est le paragraphe 6, où Jacqueline conclut : "nous allons voir que l'introduction de cette enveloppe$^1$ vectorielle $\widehat{\mathcal E}$ d'un espace affine $\mathcal E$ permet d'éclairer beaucoup de questions." Ce livre publié en 1986, donc 13 ans après Géométrie pour l'élève professeur, apportera j'espère un éclairage(une simplification ?) sur la construction de Glaeser (que son collègue Frenkel présente lui-même dans l'introduction comme une "astuce d'exposition due à Glaeser"). Je n'ai pas eu le temps d'approfondir mais j'ai l'impression que cela revient peu ou prou à la même chose.

Soit $A\in X$.Les $$f_A:X\to \vec X$$ $$\quad \quad \quad M\mapsto \overrightarrow {MA}$$https://www.geogebra.org/classic/kzpt8d2g

de Ferrand [sans utiliser le vocabulaire suggestif "champ de force central"] correspondent aux $f_{1,A}$ de Frenkel. La considération de combinaisons linéaires par Ferrand pourrait se traduire partiellement chez Frenkel par $$\lambda\cdot f_{1,A}=f_{\lambda, A}$$

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$^1.-$ Je préfère utiliser "enveloppe" au terme froid et technique utilisé en réalité par Ferrand, "prolongement". On trouve aussi "complété vectoriel" ou "vectorialisé" (2017,p.195) Où l'on pourra vérifier la permanence des vérités mathématiques. Enoncée en 1973, en 1985 ou en 2017, réénoncée le 15 août 2024, on a toujours $$2+2=4$$

stfj

"Prolonger les applications affines",  d'abord il faudrait s'entendre sur ce qu'on appelle "prolonger une application affine". 

Sans doute faudrait-il commencer par identifier un espace affine $X$ à un sous-ensemble de l'espace projectif $\mathbb P_K(\widehat{X})$ dont le complémentaire est l'hyperplan $X_{\infty}=\mathbb P_K(\vec X)$ si j'en crois Frenkel

.

Georges Abitbol

J’ai récemment appris qu’il existait une sorte de théorie des espaces affines à base de combinaisons barycentriques. Précisément, notons, pour tout $n\geq 2$, $B_n$ l’ensemble des $n$-uplets de réels dont la somme vaut $1$ ; un espace affine abstrait est un ensemble $E$ muni d’une famille d’applications $(c_n)_{n\geq 2}$ telles que pour tout $n$, $c_n$ envoie $E^n\times B_n$ dans $E$ et possède les propriétés de compatibilité qui sont vérifiées par les combinaisons barycentriques. On peut alors démontrer qu’un espace affine abstrait est un vrai espace affine. Je raconte ça parce que je trouve ça intéressant.

stfj

Tout ce que je sais des barycentres, c'est que c'est des combinaisons de points massiques de masse totale $1$ d'un espace affine. Par exemple, si $a$ et $b$ appartiennent à un espace affine, le milieu de $ab$ est $a+\frac12(b-a)=\frac12(a+b)$, le centre de gravité $g$ d'un triangle $abc$ est $g\doteq \frac{a+b+c}{3}$ ; il faut faire attention à $b-a$ par exemple qui est l'unique $u\in\vec X$ tel que $\phi(u,a)=b$. Mais dans l'ensemble ça marche sans problème : par exemple, le barycentre $m$ de $\{(a,2),(b,-7),(c,3)\}$ sera commodément noté $\frac{2a-7b+3c}{2+(-7)+3}$ ou $$m\simeq 2: -7:3$$si on s'amuse à griller les étapes en passant directement à $\mathbb P_K(\widehat{X})$ où $X$ est le plan affine passant par $a,b,c$.

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Quant aux applications affines de $X$ dans $X$ : ce sont, sauf erreur, par définition, des applications $f:X\to X$ telles qu'il existe $a\in X$ et $\vec f\in \mathscr L(\vec X)$ tels que $\forall x\in X, f(x)-f(a)=\vec f(x-a)$. Quand j'étais jeune, on se restreignait aux applications affines dans l'espace affine $V$ associé à un espace vectoriel $V : f(x)=a+u(x), a\in V, u\in \mathscr L(V)$[en dimension finie, $Y=A+UX$]; ça doit être ça.

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Si on prend une application constante par exemple $\vec f=0$; pour une translation ou une homothétie, $\vec f\in K^*1_{\vec X}$. Prolonger $f$ est alors simple.

Thierry Poma

@stfj : bonjour.

C'est après cette construction que Frenkel écrit qu' "un espace affine n' "existe pas" mathématiquement

A quel page de son ouvrage que je possède, s'il te plait ?

stfj

"Telle est la vraie raison - exposée au chapitre III grâce à une astuce d'exposition dont je suis redevable à mon collège Glaeser - pour laquelle, mathématiquement parlant, les espaces affines "n'existent pas", bien que tout ce cours leur soit consacré." (préface, p.15)

stfj

Un peu avant dans la préface, on peut lire: "l'algèbre linéaire sur un corps est l'étude des espaces vectoriels et de leurs morphismes. Le lecteur - et le mathématicien professionnel - seront donc à bon droit scandalisés de voir que près d'un tiers de ce cours traite de ce monstre qu'on appelle espace affine. Cela tient à ce que ce cours est avant tout destiné à des pédagogues[...]"

50 ans après, cela m'interpelle. On peut lire partout des constats tels que : " il n'est plus possible à notre époque de supposer familières la notion d'espace affine."(édition 2017, p.189) Et pourtant on mathématise [Edit :partout] au lycée avec des espaces affines. En faisant valoir par exemple leur usage en sciences physiques. Jusqu'à quel point le même "on" est-il en réalité suffisamment familier avec les espaces affines dont "on" vante les "mérites pédagogiques" ?

rakam

@Georges Abitbol (en espérant que ce qui suit correspond à ton post)

J'avais écrit en 2018 :

"Un corps commutatif $\K$, un ensemble non vide $E$ et des applications $\K^n\times E^n\to E$ possédant deux  propriété simples des barycentres (cas où les scalaires sont tous nuls sauf un et associativité : si vous trouvez cela trop vague, merci de lire les axiomes sur le document joint) et on peut obtenir une structure d'espace affine.
Je me doute bien que pour beaucoup d'entre vous ce ne sont qu'effractions de portes ouvertes mais, étant donné la faible remontée des moteurs de recherche usuels, j'ai pensé que le document joint pourrait plaire à certains curieux !"

Le lien ne fonctionne plus et le document joint avait disparu. Je l'ai recopié ci-dessous.

gerard0

"Et pourtant on mathématise partout au lycée avec des espaces affines. En faisant valoir par exemple leur usage en sciences physiques." Faux, au collège comme au lycée on travaille très peu en affine, les angles, le théorème de Pythagore, ça n'est pas de l'affine.

Comment dit-on déjà ? Ah oui :  "Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage".

Foys

Quand il y a plusieurs notions mathématiques mais qu'à l'aide d'une d'entre elles on peut construire toutes les autres, dans les cours les gens vont en prendre une selon leur convenance, la traiter en détail et faire pour les autres la construction évoquée (et au final on ne perd rien quel que soit le choix de départ et certaines considérations puristes ne sont au bout du compte pas pertinentes).
 
C'est exactement ce qui se passe avec les notions d'espace affine, d'espace vectoriel et d'espace projectif (classiques, sur un corps donné).

Travailler en partant des espaces vectoriels va incontestablement plus vite que toutes les autres approches. Cependant la nature se présente (au moins à première vue puisqu'en creusant on s'aperçoit qu'il ne s'agit que de modèles) davantage comme un espace affine que comme un espace vectoriel (à nouveau: où est l'origine?).

stfj

Soit $X$ un espace affine. Son "origine" est l'origine de son enveloppe vectorielle $\widehat {X}$ construite plus haut. Mathématiquement, la construction de $\widehat {X}$ par Glaeser, Frenkel, Berger, Ferrand ou d'autres, s'impose puisqu'elle permet de compléter projectivement $X$.[voir plus haut.]

Foys

@stfj étant donné un espace affine $X$ et $\mathcal D(X)$ l'ensemble de ses droites (affines évidemment), la relation  $a \sim b$:= "$a$ et $b$ sont des droites parallèles", est une relation d'équivalence sur $X$ et on peut définir le complété projectif de $X$ par $X \coprod \left (\mathcal D (X)/\sim \right)$.

(la notation $A \coprod B$ abrège $(A \times \{0\}) \cup (B \times \{1\})$).

Barjovrille

Bonjour @stfj ,

stfj a dit :

Soit $X$ un espace affine. Son "origine" est l'origine de son enveloppe vectorielle $\widehat {X}$.

Sauf que dans les constructions plus haut on peut écrire  $\widehat {X}$"$=$"$ \vec X \cup X$ et l'union est disjointe et le $0$ de $\widehat{X}$ n'est pas dans $X$.

Je ne comprends pas trop pourquoi tu insistes à faire oppositions entre espaces affines et espaces vectoriels. Si c'est parce que des grands noms ont dit que les espaces affines ça ne sert à rien, c'est mieux de tester toi même et de tirer tes propres conclusions.

Mon avis : les deux notions existent et des fois c'est plus pratique de parler d'espace affine que d'espace vectoriel et d'autres fois c'est l'inverse, vu que tu es plus pour les espaces vectoriels je te donne deux exemple où la notion affine est plus pratique :

Si tu prends l'application affine $x \mapsto Ax +b$ ($A$ matrice $b$ vecteur) si tu veux la voir comme une application "matricielle" tu es obligé de poser :

1) $A'= \begin{pmatrix} A & b \end{pmatrix}$ (ajuste la taille des 0 en fonction de la matrice $A$) et $y= \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$ (ça revient à faire la manip enveloppe vectoriel), alors l'application $x \mapsto Ax +b$ est quasiment égale à $y \mapsto A'y$ mais il faut supprimer des $0$ quand on fait les calculs pour retrouver ton application affine c'est assez artificiel pour pas grand chose. (Si tu codes des régression linéaire ou réseau de neurones (sujet à la mode) tu ne vas jamais faire cette manipulation tu écris tout comme application affine (d'ailleurs on aurait peut-être du appeler ça régression affine).

2) Vu que tu parles d'espace projectif, c'est assez naturel de montrer qu'un espace projectif privé d'un hyperplan est en bijection avec un espace affine. (Ce type de sous ensemble est important c'est un cas particulier d'ouvert pour la topologie de Zariski).

edit : j'ai corrigé la matrice $A'$ je ne sais pas pourquoi j'ai mis des $0$ en plus.

Héhéhé

J'ai bien rencontré un prof de MP* qui affirmait que les matrices ne servaient à rien donc bon... Les arguments d'autorité faut les prendre avec des pincettes !

stfj

Soit $X$ un espace affine et $\widehat{X} $ son enveloppe vectorielle. Nous disposons par exemple de la construction in extenso de Jacqueline Ferrand via le lien fourni plus haut. Alors $X$ est un hyperplan affine de l'espace vectoriel $\widehat{X}$. L'étude des espaces affines aussi généraux soient-ils est donc un cas particulier de l'étude des hyperplans affines d'un espace vectoriel. Ni plus ni moins.

Julia Paule

Foys a dit :

Soit $E$ un espace vectoriel, $\ell$ une forme linéaire non nulle sur $E$, $F:= \ell^{-1} (\{1\})$ et $\vec F:= \ell^{-1}(\{0\}) = \ker (\ell)$. Alors $F$ est un espace affine sur $\vec F$ et pour toute application affine $f: F \to F$ pour cette structure d'espace affine, la fonction $\tilde f:= x\in E \mapsto \vec f(x)$ si $\ell (x) = 0$ et $\ell(x) f \left (\ell(x)^{-1} x \right)$ si $\ell(x) \neq 0$, est une application linéaire de $E$ dans lui-même prolongeant $f$.

On peut considérer le cas où $E$ est de dimension finie non nulle (on l'identifie ci-après à $K^{n+1}$ avec $n\in \N$) et $\ell (x_1,...,x_n) = x_n$ pour tout $n$ (et donc $F = K^n \times \{1\}$),et $f(x_1,..,x_n,1) = (x_1,...,x_{n-1}, 1+x_n,1) = (0,0,0,...,1,0)+ (x_1,...,x_n, 1)$ (NB: lorsque plus haut $f$ est une translation non triviale de $F$ on peut toujours se ramener à ce cas par un changement de base).

Alors on voit immédiatement que $\tilde f$ est une transvection de matrice $I_n + M$ avec $M_{i,j}=1$ si $i=n$ et $j=n+1$ et $0$ pour toutes autres valeurs de $i$ et $j$.

Plus généralement avec ces identifications on voit que le groupe des applications affines bijectives de $F$ dans lui-même s'identifie au produit semi-direct de $K^n$ et $GL_n(K)$ (le second muni de son action naturelle sur le premier).

Merci @Foys pour cette explication (désolée pour le retard). C'est plus clair et plus général que l'explication que j'ai retrouvée dans mon cours (qui ne s'applique qu'aux espaces vectoriels de dimension finie). 

Rien ne dit que ce prolongement vectoriel est unique, je vais essayer de le montrer.

Sinon, $l$ est une forme linéaire définie sur $E$, ne serait-ce pas $l(x_1, \cdots, x_{n+1})=x_{n+1}$ et $\tilde f$ est une transvection de matrice $I_{n+1}+M$ ?

Dans tous les cas, on obtient $\tilde f(x)=x+l(x)u$, où $l$ est la forme linéaire de noyau $\vec F$ définie sur $E$ et $u$ le vecteur de la translation.

Julia Paule

@stfj Dire que les espaces affines ne servent à rien ou sont peu importants parce qu'ils sont inclus dans les espaces vectoriels, c'est comme dire que $\mathbb R$ ne sert à rien parce qu'il est inclus dans $\mathbb C$.

D'une part les jeunes élèves ne connaissant pas $\mathbb C$ seraient hermétiques à un tel argument. D'autre part, il faudrait rayer de la carte tous les résultats obtenus dans $\mathbb R$.

Peut-être ne comprends-tu pas les espaces affines, c'est pourquoi tu veux les supprimer de l'enseignement des maths ?

gai requin

C’est parce que $\R$ possède certaines propriétés qu’on a ce bon vieux $\C=\R[i]$.

Les relations sont plus tendues entre $\Q$ et sa clôture algébrique.

Foys

@Julia Paule a écrit:
ne serait-ce pas 𝑙(𝑥1,⋯,𝑥𝑛+1)=𝑥𝑛+1 et 𝑓̃  est une transvection de matrice 𝐼𝑛+1+𝑀 ?

Oui bien sûr. Je corrige.

stfj

"Ni plus ni moins" signifie "ni moins,

stfj a dit :

Soit $X$ un espace affine et $\widehat{X} $ son enveloppe vectorielle.

Alors $X$ est un hyperplan affine de l'espace vectoriel $\widehat{X}$. L'étude des espaces affines  est donc un cas particulier de l'étude des hyperplans affines d'un espace vectoriel. Ni plus ni moins.

ni plus".

Soit $A,B\in X$. On pourrait naïvement s'interdire "d'additionner" ces deux points par exemple. Or, dans l'espace vectoriel $\widehat{X}$, si l'on note $+$ l'addition, $$A+B$$ a un sens.

De façon beaucoup plus générale, on pourra examiner ce qu'on fait très concrètement une fois qu'on dispose de telles constructions dans ce document par exemple.

Dans le chapitre IV, IV.1, on pourra examiner comment pallier au fait que nos élèves sont hermétiques à $$\mathbb R\subset \mathbb C$$

Julia Paule

Bonjour. Merci. Pour montrer que $\tilde f$ définie plus haut est l'unique application linéaire qui prolonge $\vec f$ sur $\vec F$ et $f$ sur $F$, c'est très simple :

Soit $l$ l'unique forme linéaire sur $E$ de noyau $\ker l = \vec F$ et telle que $F=l^{-1}({1})$ (immédiat en dimension finie, je ne sais pas si cela reste vrai en dimension infinie).

- $\forall x \in\vec F, \tilde f(x)=\vec f(x)$,

- $\forall x \in E \backslash \vec F$, $x$ s'écrit $x=l(x) \dfrac {x}{l(x)}$ ; alors $\tilde f(x)=\tilde f(l(x) \dfrac {x}{l(x)})=l(x) \tilde f(\dfrac {x}{l(x)})=l(x) f(\dfrac {x}{l(x)})$.

De là, on peut trouver les prolongements vectoriels d'une application affine définie sur un espace affine (que l'on peut d'emblée considérer comme hyperplan affine d'un espace vectoriel).

Pour $f$ homothétie affine définie sur $F$ de centre $x_0$ et de rapport $\lambda$, $\tilde f(x)=\lambda x +l(x) (1- \lambda)x_0$, de matrice $\lambda I_{n+1}+M$, avec $M$ telle que l'élément sur la $n+1$-ème ligne, $n+1$-ème colonne est $1-\lambda$, et $0$ partout ailleurs (sauf erreur).

Julia Paule

@gai requin je crois comprendre ce que tu veux dire : $\mathbb C$ est la clôture algébrique de $\mathbb R$, et on ne peut pas le définir par lui-même (on peut le définir par l'extension $\mathbb R [i]$, ou par $\mathbb R^2$ muni des opérations adéquates, ou encore par les matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans $\mathbb R$, ... , contrairement aux espaces vectoriels qui peuvent se définir mathématiquement sans les espaces affines.
Je vais essayer de trouver un autre exemple.

Julia Paule

Définir les espaces affines et les espaces projectifs à partir des espaces vectoriels est un parti pris.

On peut aussi définir les espaces projectifs et les espaces vectoriels à partir des espaces affines (c'est ce que dit Foys plus haut) :

- un espace projectif (par exemple un plan projectif) est un espace affine (un plan affine) auquel on a ajouté un hyperplan projectif à l'infini (une droite projective), lieu de rencontre des droites affines parallèles de cet espace affine (de ce plan affine), sachant qu'une droite projective est une droite affine à laquelle on a rajouté un point à l'infini.

- un espace vectoriel est l'ensemble des couples de points d'un espace affine, modulo la relation d'équivalence "former un parallélogramme" (vision du collège / lycée).

On voit bien que cela n'a pas de sens de dénigrer les espaces affines. Ils interviennent souvent dans les ensembles de solutions d'une équation, sachant que la recherche de ces ensembles est fondamentale en mathématique.

plsryef

C'est quand même bien pratique pour les équa-dif et le principe de superposition par exemple.

pldx1

Bonjour,

L'ensemble des solutions of a "linear differential equation" est clos par barycentration. Oui, certes. Et il est bien pratique de savoir cela. Oui, certes. Mais il n'y a aucun besoin de fléchi-flécha pour mettre en oeuvre cette propriété.  Et il n'y a tellement pas besoin d'un barnum pareil qu'il n'existe aucun mot en Anglais pour dire "fléchi-flécha à la mode des farceurs d'Outre-Manche". 

Pour définir une topologie de la distance sur $\mathbb C$,  il faut disposer de $z\mapsto \sqrt{z\, \overline z}$ et cela nécessite de disposer de la topologie de l'ordre sur $\mathbb R$. Exemple typique d'un passage obligé. 

On en revient à la problématique principale: lorsqu'un professeur dispose d'un certain nombre d'heures de cours, il faut choisir quelles sont les choses qui valent le coup (exemple: la structure vectorielle) et quelles sont les scories du passé (exemple: le barnum fléchi-flécha).

Cordialement, Pierre.

Julia Paule

Pour trouver le prolongement vectoriel d'une application affine $f$ sur $F$, c'est finalement assez simple (cela n'enlève rien à la formulation générale de Foys). En effet, en fixant une origine $x_0$ à l'hyperplan affine $F$, tout vecteur $x$ de $E$ s'écrit de manière unique : $x=y + a x_0, y \in \vec F, a \in k$ (vu que $E=\vec F \oplus kx_0)$. 

Alors on obtient, vu les applications linéaires associées, et en notant qu'on a pour la forme linéaire $l$ sur $E$ telle que $\vec F=l^{-1}(0)$ et $F=l^{-1}(1)$ : $\forall x \in E, l(x)=a$ (donc $a$ ne dépend que de $x$, ne dépend pas de l'origine $x_0$ choisie sur $F$) et $\forall x \in E, \tilde f(x)=\tilde f(y+ax_0)=\tilde f(y) + a \tilde f(x_0)=\vec f(y) + a  f(x_0)$ :

- homothétie sur $F$ de centre $x_0$ et de rapport $\lambda$ : $\tilde f(x)=\lambda x+l(x)(1-\lambda)x_0$.

- translation de vecteur $u \in \vec F$ : $\tilde f(x)=x+l(x)u$.

- application constante : $\tilde f(x)=l(x)f(x_0)$ : je ne comprends pas la projection sur $kx_0$ parallèlement à $\vec F$, plus haut de @gai requin ?

EDIT : ah oui, on peut prendre pour origine de $F$ le point $x_0$ image de l'application constante dans $F$.

Le prolongement projectif d'une application affine parait plus compliqué.

Julia Paule

@pldx1, partir des espaces vectoriels est le plus simple et le plus rapide (si je comprends ce que tu veux dire) ; par contre, partir des espaces affines (espaces de points sans structure linéaire a priori, sauf si on fixe une origine ...) est le plus intuitif (Euclide, les grecs, ..., jusqu'au XIXème siècle). On peut aller au plus vite certes, une fois qu'on a compris l'origine des choses, mais parfois le plus vite reste complétement hermétique si on ne connait pas cette origine, c'est une question de pédagogie (c'est tout le problème d'ailleurs).