Échantillonnage

Kcg

Bonjour à tous. 

J'ai quelques incompréhensions sur cet exercice. Pour le faire, je pense à approximer la loi de l'estimateur $\bar{P}$ de la proportion par la loi normale de moyenne 17% et de variance $\frac{pq}{n} $ où $p=17\%$, $q=1-p$ et $n=50%$ et ensuite calculer la probabilité $P(\frac{7}{50}\leq \bar{P} \leq \frac{12}{50})$.

Mon problème c'est qu'en faisant cela, je n'utilise pas certaine information comme la taille de la population (10 500) ou encore le fait qu'on ait préciser que le tirage soit sans remise. Je me demande alors si mon raisonnement est correct.

Merci d'avance pour vos réponses.

gebrane

Tu n'as pas besoin de la loi normale. Soit \( X \) le nombre de courriers infectés dans l'échantillon. \( X \) suit une loi binomiale car la taille de la population est très grande, ce qui suggère que les tirages sont indépendants malgré des tirages sans remises. Tu cherches la probabilité \( P(7 \leq X \leq 12) \).

-

gerard0

Bonjour Kcg.

Sous l'hypothèse que 17,9% des 10500 courriels étaient infectés, la variable aléatoire "nombre d'infectés dans un échantillon de 50 suit une loi hypergéométrique. Lorsque la taille de la population est très largement supérieure à celle de l'échantillon, cette loi hypergéométrique s'approxime de façon très précise par une loi binomiale. Ce qui justifie le conseil de Gebrane.

Cordialement.

NB : En approximant par une loi Normale, tu supposes la population très grande, donc tu utilises bien le renseignement 10500. Par contre, ta remarque montre que tu ne connais pas les conditions d'utilisation de la loi Normale, et que tu dois revoir ton cours. En particulier, on approxime une loi, toi tu n'en a même pas évoqué une !

Kcg

D'accord, merci @gebrane. 

@gerard0 merci pour les précisions. Dans mon cours, pour approximer la loi de $\bar{P}$ par la loi normale, on doit avoir : $n≥30, np≥5,nq≥5$ et toutes ces conditions sont vérifiées ici. On précise même que sous ces conditions, la loi binomiale est approximer par une loi normale. J'étais sceptique parce que je ne voyais pas l'utilité des données en plus . Je me limitais à la taille de l'échantillon mais d'après ce que tu expliques, l'écart entre la taille de la population et de celle de l'échantillon joue un rôle dans notre approximation.

gerard0

"Dans mon cours, pour approximer la loi de $\bar P$ par la loi normale, ..."

C'est dommage que le cours soit fait à la va-vite, car c'est une règle générale que les lois binomiale et de Poisson sont approximables, dans certaines conditions, par la loi Normale. Et c'est aussi une évidence, que pour calculer la probabilité d'être entre 6 et 12, donc 6 possibilités, le calcul exact (aux approximations des calculs) est très facile avec les outils actuels; donc l'approximation n'est pas très utile, et même légèrement fausse par principe si on ne fait pas la correction de continuité.

Je ne sais pas quelle formation tu suis, mais je trouve regrettable qu'on continue à trainer ces approximations datant d'avant les ordinateurs et calculettes, par reproduction naturelle des cours reproduisant des cours qui eux-mêmes ...

NB : Tu as oublié une condition qui est fondamentale : la taille de la population doit être plusieurs fois la taille de l'échantillon.

gerard0

À noter encore que la notion d'approximation est très floue, donc que la loi de $X$ est toujours approximée par la loi Normale (-100 est une approximation de $\pi$). les conditions citées assuraient simplement de ne pas avoir trop d'erreur.

lourrran

Il y a un autre problème avec cet exercice.
On prétend que 17.9% des courriels étaient infectés..... on regarde 50 emails pris au hasard. Et on nous demande la proba d'avoir entre 7 et 12 courriels infectés.
Si on nous avait dit : on sait que 17.9% des courriels sont infectés ... alors ok, on a les outils pour faire les calculs ... 
Si on nous avait dit : on va supposer dans un premier temps que le pourcentage de 17.9% est correct,   idem, on a les outils pour faire les calculs.
Là, les tournures de phrases nous suggèrent fortement que la probabilité de 17.9% est exagérée, mais on nous invite à faire des calculs, et ces calculs ne peuvent que s'appuyer sur ce 17.9%.

Kcg

D'accord, je vois un peu @gerard0. 
@lourrran , effectivement, je l'ai également constaté.