Contact très intime entre coniques
Réponses
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Bonjour, la conique surosculatrice en $A$ à $(\mathcal C)$ :-1- passe par $A$;-2- a pour tangente en $A$, la tangente en $A$ par rapport à $(\mathcal C)$;-3- passe par $\color{green}M$.Cela fait seulement trois conditions sur cinq pour garantir l'unicité de $\color{red}(\mathcal C')$, non ?Sinon travailler dans $A\simeq 1:0:0$(etc) va introduire six paramètres $$D\simeq u:v:w$$$$E\simeq p:q:r$$ On aura alors la matrice $Q$ de la conique définie par les cinq points, donc la conique inverse, donc des informations sur la tangente. Cela m'a l'air compliqué. Ou alors on décide de définir notre conique à partir d'une droite passant par $A$ à laquelle elle serait tangente et on réduit le nombre de paramètres ... A voir.@Bruno avait donné des indications sur le sujet.
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coquines ces coniques
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Deux co-niques
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Bonjour,
20 100 : bien vu ! Conique et coquine est à la fois une anagramme et une antistrophe.
stfj : non, cela fait bien cinq conditions car la surosculation impose à elle seule quatre points d'intersection confondus.
Je puis faire varier la question : construire $(\cal C')$ osculatrice en $A$ et passant par deux points, $M$ et $M'$ ou encore : osculatrice en $A$ et tangente en $M$ à une droite donnée.
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Comment définit-on exactement "la conique surosculatrice en $A$ à $(\mathcal C)$ passant par $M$"?
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Donc la tangente est "double" ?
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Donc la tangente est "double" ?
Bonjour, plsryef, oui, on peut dire cela : si $P(X,Y,T)=0$ est l'équation homogène de $(\cal C)$ et $aX+bY+cT=0$ celle de la tangente en $A$, l'équation générale des coniques surosculatrices en $A$ est $P(X,Y,T)+\lambda(aX+bY+cT)^2=0$. -
Donc le problème est ramener à trouver un point dans un faisceau/pinceau (je ne connais pas la terminologie) de coniques, ce qui devrait montrer que cette conique est unique aussi non ?
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Le terme "osculante" est apparu chez Leibniz. On s'amusait bien en 1686
. En tout cas, si on se restreint aux cercles tangents à la coniques en A et passant par M, il n'y en a qu'un. La notion de conique osculatrice n'a toujours pas été définie. Déjà que je n'ai pas inventé les tangentes, je me vois mal inventer les "coniques osculatrices". Ou alors on prend son cours sur le cercle osculateur et on adapte.
Faut des diamètres conjugués, non ? On considère le centre de la conique; on a le diamètre de direction la tangente; on cherche son diamètre conjugué et le centre de la conique osculatrice quelque part sur ce diamètre. Comme la conique surorsculatrice passe en outre par $M$, cela commence à faire pas mal de conditions.
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Osculation : contact avec intersection d'ordre $3$ ou, dans un espace euclidien : contact et même courbure.
Par parenthèse : dans mon cours de Sup, pas plus que dans celui de Spé, on ne parle des faisceaux/pinceaux de coniques (sur)osculatrices. Par pudibonderie ? Ou bien peut-être parce qu'ils sont trop dégénérés ? Pourtant, la construction du cercle osculateur en un point d'une conique ressortit à ce cas particulier de faisceau. -
Que veut dire "intersection d'ordre $3$"?
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Bonjour, il y a des tas de choses intéressantes dans ce filCordialement, Pierre.
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BonjourExtrait d'un vieux grimoire abhorré sous la lune:Les coniques surosculatrices à la conique $\Gamma$ d'équation $f=0$ en un de ses points $A$ forment un faisceau linéaire d'équation $f+\lambda T^2=0$ où $T=0$ est l'équation de la tangente en $A$ à $\Gamma$.Amitiéspappus(Nostalgie!)PSFormer l'équation des paraboles surosculatrices à l'infini à une parabole donnée $\Gamma$.
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Former l'équation des paraboles surosculatrices à l'infini à une parabole donnée $(\Gamma)$.
Bonsoir, pappus,
eh oui ; c'est ainsi que j'ai fait ! Il ne reste plus à nos forumeurs de voir comment se ramener à cette situation. -
stfj : intersection d'ordre $3$ ? Pour nos coniques, il n'est pas nécessaire de se lancer dans la théorie générale de l'intersection des courbes algébriques. Il suffit de paramétrer rationnellement une conique sur les deux : $t\mapsto M(t)$ et de transporter cela dans une équation cartésienne de l'autre, soit : $P_2(M(t))$. Si, en $t_0$, cette expression admet un zéro d'ordre $m$, on dit que la multiplicité d'intersection est $m$ (et cela ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a fait intervenir les deux coniques).
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Bonjour john-john,Et voilà https://www.geogebra.org/classic/pxhrhmnq !En barycentriques, j'ai utilisé ta définition comme conique appartenant au faisceau engendré par la conique initiale $C_1 \simeq (0:0:0:r:q:p)$ de perspecteur $P\simeq (p:q:r)$ et la conique tangente dégénérée $C_2 \simeq (0:r^2:q^2:0:2qr:0)$ passant par $A\simeq(1:0:0)$. Ensuite, j'ai cherché le paramètre $k$ qui va bien pour passer par $M$ c'est à dire $(C_1+kC_2)\cdot veronese(M)=0$ avec $veronese(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2:xy:yz:xz)$.PS : pour rendre le truc plus utilisable, la conique est définie par $B$,$C$,$D$,$E$ et $F$ ce qui permet à $A$ de parcourir cette conique mais mon repère sous jacent est bel et bien $A$, $B$ et $C$.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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Si on a 2 courbes de type $y=f(x)$ et $y=g(x)$
Intersection d'ordre 1 : les courbes se croisent (ou sont tangentes) : $f(x_0)= g(x_0)$
Intersection d'ordre 2 : les courbes sont tangentes l'une à l'autre : $f(x_0)= g(x_0)$ et $f'(x_0) = g'(x_0)$
Intersection d'ordre 3 : les courbes sont tangentes l'une à l'autre et elles ont le même rayon de courbure : $f(x_0)= g(x_0)$ et $f'(x_0) = g'(x_0)$ et et $f''(x_0) = g''(x_0)$
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Bonjour, Vassilia,
merci de ta contribution ! L'appli Géogébra possède-t-elle un noyau de calcul formel ? En faisant afficher le Protocole de construction, je vois apparaître des $\otimes$ par exemple. Plus précisément, la fonction ${\rm veronese}$ est-elle incluse, ou alors l'as-tu définie, toi ?
Pour ma part, j'ai procédé à l'ancienne en envoyant à l'infini la tangente en $A$ tout en laissant fixe $M$ (ce qui ne l'empêche pas de bouger). Comment ? Grâce à l'involution harmonique (ou homologie harmonique) qui laisse fixe $M$ et qui envoie tout point $T$ de la tangente $(\cal T)$ en $A$ à l'infini dans la direction $(AT)$. Plus précisément, si $(\cal T')$ se déduit de $(\cal T)$ par l'homothétie ${\rm H}(A,2)$, cette droite et le point $A$ sont laissés fixes par l'involution. L'image de la conique de départ est alors une parabole $(\cal P)$ dont $(MA)$ est direction asymptotique. il ne reste plus qu'à construire la parabole passant par $M$, image de la précédente par une translation de vecteur parallèle à $(AM)$ et enfin à appliquer l'involution pour revenir en arrière.
(Figure à suivre) -
Je vois que notre ami @john_john ne conjugue pas qu’en latin 👍
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Salvete ! Ecce figuram meam :
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A priori, geogebra possède bien un moteur de calcul formel mais je m'en sers pas car je ne le trouve pas efficace, soit car je ne suis pas fichue de m'en servir efficacement, soit car après tout, le but d'un logiciel de géométrie dynamique n’est pas de faire du calcul formel efficacement.En fait, ma stratégie est assez simple, il me faut paramétrer les éléments.On sait que, en barycentriques, pour une conique circonscrite à $A\simeq (1:0:0)$, $B \simeq (0:1:0)$ et $C\simeq (0:0:1)$, la matrice sera de la forme $conique \simeq \left(\begin{array}{ccc} 0 & r & q \\ r & 0 & p \\ q & p & 0 \end{array}\right)$ de telle sorte que $M\simeq (x:y:z)$ appartient à la conique ssi $^t M \cdot conique \cdot M=0$Mais de manière équivalente on peut dire $conique \simeq (0:0:0:r:q:p)$ et $M$ appartient à la conique ssi $conique \cdot veronese(M)=0$.Dans tous les cas, il faut récupérer $p$, $q$ et $r$ les coordonnées barycentriques du perspecteur via geogebra. On demande les polaires en $A$, $B$ et $C$ qui donnent un nouveau triangle de sommets $A'$, $B'$ et $C'$ en perspective avec $A$, $B$ et $C$ avec pour perspecteur $P$.Et c'est maintenant qu'apparait $\otimes$ puisque $p=(P-B)\otimes(P-C)$, $q=(P-C)\otimes(P-A)$ et $r=(P-A)\otimes(P-B)$.De la même manière, on a besoin de récupérer les coordonnées barycentrique de $M\simeq (u:v:w)$ c'est à dire $u=(M-B)\otimes(M-C)$, $v=(M-C)\otimes(M-A)$ et $w=(M-A)\otimes(M-B)$.Maintenant qu'on a tout récupéré, on travaille dans un logiciel de calcul formel pour trouver $k$ ce qui permet d'avoir l'équation de la conique qu'il ne reste plus qu'à donner à geogebra sous la forme TriangleCourbe(A,B,C,eq(A,B,C)=0)Et puis, c'est tout.geogebra calculera donc en temps réel l'équation de la conique, mais de toute façon, même avec une construction à l'ancienne, geogebra calcule en direct, il n'utilise ni règle ni compas. La seule différence est la manière de demander le calcul à faire.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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Merci, Vassilia, d'avoir pris la peine de détailler la partie algébrique de Géogébra. Une dernière question, toutefois : le symbole $\otimes$ est-il celui du produit vectoriel formel (noté en général $\wedge$) ou bien celui du produit composante par composante ?
Bien cordialement, j__j -
Bonjour,
Dans Géogébra, le symbole $\otimes$ est ce que le logiciel affiche qund on lui a demandé ProduitVectoriel( <Vecteur>, <Vecteur> ). Je l'utilise régulièrement pour obtenir les coordonnées barycentriques d'un point $M$: u=ProduitVectoriel(Vecteur(M,B),Vecteur(M,C)) et permutation circulaire.
Dit autrement, c'est le célèbre Wedge (ou déterminant) appliqué aux vecteurs.
Cordialement,
Rescassol
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Bonsoir, Rescassol,
effectivement, je m'en doutais un peu (cf supra), tout en m'étonnant de l'utilisation du symbole du produit tensoriel. Ah ben oui, bien sur : l'oncle Sam le note $\times$ au lieu de notre $\wedge$ franchouillard. -
Je vois que notre ami @john_john ne conjugue pas qu’en latin 👍
Bonjour,
je l'ai échappé belle : JLapin n'a pas écrit je vois que notre ami John_John ne décline pas qu'en latin -
Tu confonds requin et lapin : signe du déclin ?
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Ouille ! Effectivement, ces deux bestiaux n'ont pas grand-chose en commun.
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Bonjour!
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