A propos du plan d'Argand

stfj

Bonjour,

Suite à la discussion récente sur les mesures algébriques, j'ai découvert une histoire méconnue (par moi en tout cas): celle du plan d'Argand.

J'avais rencontré dans mes études secondaires le nom d'Argand$^1$ mais j'imaginais jusqu'à aujourd'hui qu'il s'agissait d'un personnage du début du 17ème siècle.

Je découvre au contraire sa modernité (à partir de 1806), même si les ombres de Gauss et de Cauchy le replacent à une juste place dans l'Histoire des mathématiques.

Je découvre également le côté toujours actuel de ses réflexions, à l'heure où l'antique terminologie d'affixe n'a toujours pas été abandonnée.

Peut-être voudrez-vous apporter d'autres éclaircissements sur cette histoire. (Je ne dispose que de wikipédia.)

Cordialement.

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$^1.- $ Dans l'index historique de Pour l'honneur de l'esprit humain, son nom apparaît entre Archimède et Stefan Banach.

Math Coss

Arrête de seriner des choses fausses ! Affirmer qu'un point n'est autre qu'un(e) affixe, c'est peu ou prou se priver de la possibilité de changer de repère, ce qui est pourtant une technique fondamentale en géométrie.
Prétendre que les gens qui utilisent le mot "affixe" ne savent pas qu'on peut faire des calculs en lieu et place de raisonnements synthétiques, c'est grossièrement erroné (ou diffamatoire).

stfj

Tout ce que j'ai écrit, c'est qu'un nombre complexe tel que $a=5+3i=(5,3)$ est un point. C'est le point $(5,3)$ du plan complexe $\mathbb C=\mathbb R^2$. C'est l'idée d'Argand popularisée par Gauss et Cauchy. L'expression "antique terminologie d'affixe" est due à Jean Dieudonné au début de Calcul infinitésimal. S'il le dit, ...

En tant qu'amateur d'attracteurs de familles de contractions (je ne dis pas fractales pour ne pas passer pour un ignare), j'ai un peu travaillé dans le plan $\mathbb C$ et n'ai jamais eu besoin de parler d'affixe. J'ignorais qu'on eût encore besoin de ce mot.

jelobreuil

Non, Stéphane, là, tu tombes dans le travers de nos amis américains qui disent "H est un atome d'hydrogène". Eh bien, non, le symbole H ne peut pas "être" un atome ! il ne fait que le représenter ...

De même, un nombre complexe ne peut pas "être" un point. Ce serait une assimilation abusive ! Pour moi, la relation entre nombre complexe et point du plan complexe n'est pas l'identité. C'est plutôt une relation de type association ...

Bien amicalement, Jean-Louis B.

stfj

Je propose d'écouter Douady parler du plan complexe et d'attendre quand il prononcera le mot "affixe" :

A 9:00, il dit : le "point $-\beta$ symétrique de $\beta$"

jelobreuil

Mais comme chacun sait ou devrait le savoir, l'être humain est si paresseux de nature qu'un orateur fait très habituellement des raccourcis qui sont aussi évidents pour lui que pour ses auditeurs, à tel point que cela ne gêne pas du tout leur compréhension mutuelle ... Mais par contre, à l'écrit, ces raccourcis d'expression sont difficilement admissibles ... 

On n'écrit pas comme on parle !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Rescassol

Bonjour,

A ce sujet, lire (ou relire) "Le Monde des Ā" de A.E Van Vogt et la célbre maxime "la carte n'est pas le territoire".

Cordialement,
Rescassol

stfj

Il y a aussi faire des excès de langage et des imprécisions pour éviter des difficultés inutiles à des débutants. Godement avouait volontiers avoir eu recours à ce procédé pédagogique. D'autres aussi :

"Emporté par notre élan, nous définissons un point de l'espace de dimension n comme un $n-$uple de nombres $$(x_1,x_2,...,x_n),$$ où $n$ est un entier positif." (Serge Lang, Linear algebra)

stfj

Voici la fonction exponentielle.Il y a plusieurs repères en jeux : la base canonique de $\mathbb C=\mathbb R^2$ euclidien, le repère barycentrique lié à $ABC$ et le repère affine $(C,\vec {CA}, \vec {CB})$ . Je ne vois pas la différence entre $A$ et le nombre complexe qui le définit. D'ailleurs dans geogebra, c'est  $13.32-4.19i$. Cela ne m'a pas privé de la possibilité de changer de repère pour y étudier la fonction exponentielle associée au triangle $ABC$. Changer de repère est en effet est une technique fondamentale. Je ne prétends rien, ce qui, de ma part, serait ridicule. Par contre, je reprends les mots de Jean Dieudonné. Je suis dieudonniste, cela m'évite de réfléchir. 

Par ailleurs, Adrien Douady connaissait mieux que beaucoup $\mathbb C$. Je constate qu'en 24:25, sur un film "grand public", il utilise le vocabulaire le plus riche possible, "lapin", "orbite", "carotte", "cycle", " $\color{red}\text{module}$", "argument", "adresse", "conformité", "composante", "ouvert", "connexe", "pointes", "fjords", ...

Cette conception géométrique d'un outil algébrique heurte le sens logique de certains mathématiciens, qui n'y voient qu'un artifice de calcul(2). Entre-temps, d'autres mathématiciens(3,4,5,6) développent de manière indépendante la même idée. Ce n'est que lorsque Gauss et surtout Cauchy, s'emparent de cette idée que cette conception acquiert ses lettres de noblesse

stfj

C'est Argand qui en 1806 introduit la notion de $\color{red}\text{module}$ d'un complexe, utilisée plus haut par Douady.

Héhéhé

Toujours la même rengaine... Un point peut désigner plusieurs objets différents en fonction du contexte, je ne vois pas de quoi fouetter un chat.

stfj

Ici, le contexte est le plan d'Argand. Que désigne un point dans ce contexte ?

Par ailleurs, ce sera difficilement "la même rengaine" car je situais Argand au début du 18è et ai appris hier que son idée date de 1806, donc début du 19è, plus de 50 ans après la mort de Jean Bernouilli. Saviez-vous que "module" date de 1806 (Argand)? Moi, je le découvre.

Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy, que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes. On les associe à des vecteurs ou des points du plan. Les transformations du plan s'expriment alors sous forme de transformations complexes.

Héhéhé

https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_complexe

stfj

Les nombres complexes sont parfaitement définis dès qu'on a construit $\mathbb R$. Par contre, la géométrie d'Euclide était incomplète et a dû être complétée par Hilbert. Donc avant Hilbert, on disposait d'un côté d'un objet mathématique, le nombre complexe. Et de l'autre d'un truc machin non mathématique non complet qui tenait tant bien que mal. Donc, Argand l'aurait-il voulu qu'il ne serait pas parvenu à associer un nombre complexe à un truc machin non mathématique, de façon correcte mathématiquement. Et pourtant, il a créé le plan d'Argand-Gauss-Cauchy. Il a en particulier défini le module d'un nombre complexe.

Perso, les réflexions d'Hilbert sur la complétude de la géométrie d'Euclide, ça ne m'intéresse pas. Pas plus que le fait que des pédagogues ont transmis des connaissances bancales pendant des millénaires. Donc tout ce que j'ai, c'est des nombres. Si j'ai bien compris, grâce à Artin, ça devrait suffire. En cela, je trouve les réflexions d'Argand qui toute sa vie fut comptable, intéressantes même aujourd'hui. Un comptable que Dieudonné place entre Archimède et Banach tout de même.

Quant à ma "rengaine", c'est une rengaine partagée. Récemment encore, je constatais que Le Lionnais définit la notion de médiatrice dans son dictionnaire, uniquement dans $\mathbb C=\mathbb R^2$.

Math Coss

Vu l'ordre alphabetique, où voudrais-tu placer Argand sinon entre Archimède et Banach ?

stfj

Dans Pour l'honneur, Dieudonné s'attarde longuement sur ce qu'il appelle un mathématicien dans le livre. C'est un mathématicien créateur, ayant publié au moins un théorème non trivial. Dans l'index où sont référencés les mathématiciens cités dans le livre, indiquer Argand n'est selon moi pas anodin. Je pense (mais je peux  me tromper) que c'est un hommage qu'il veut lui rendre. Sinon il ne l'aurait pas mis dans l'index en arguant du fait que son apport est mineur.

pldx1

Un nombre complexe tel que a=5+3i=(5,3) est un point. C'est le point (5,3) du plan complexe C=R2. C'est l'idée d'Argand popularisée par Gauss et Cauchy. L'expression "antique terminologie d'affixe" est due à Jean Dieudonné au début de Calcul infinitésimal. S'il le dit

Ah, les savants de Marseille, qu'est-ce qu'ils émettent comme bulles ! $(5,3)$ est un point. Et donc la Sardine bouchait le port de 43° 17′ 47″ nord, 5° 22′ 12″ Est. Tout le monde sait cela. Et même Jean, le roi Jean, en causait dans son introduction de "Pour l'Honneur de la Plomberie".

Sauf que tout le monde a pu constater à quel point le Roi Jean était nul à chier en matière d'enseignement des mathématiques. Il a tout juste réussi à servir d'idiot utile au sein de la commission  Lichnerowicz... avant de s'enfuir peu avant le naufrage. Quel haut fait d'armes !

Pour en revenir au point A marqué $(5,3)$, il suffit de tourner la tête pour que ce point en devienne marqué $(-3,5)$.  Pire encore, lorsque l'on écrit $$A\simeq \left[\begin{array}{c} 5+3 \,\mathrm{I} \\  1  \\  5-3 \,\mathrm{I} \end{array}\right] \simeq \left[\begin{array}{c}
7+11 \,\mathrm{I}
\\
 2+\mathrm{I}
\\
 13-\mathrm{I}
\end{array}\right]
  $$   alors $7+11I$ est un point, $2+I$ est un point, $13-I$ est un point. Et donc le point initial, $A$, est devenu un frère trois points. Ah, le progrès moderne !

Cordialement, Pierre.

stfj

Je construis d'abord $\mathbb R$. Puis à partir de $\mathbb R$, je construit $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^4$.  J'ai un objet mathématique correctement construit $$(2,3,4,5)$$Si j'ai envie d'appeler "point", ou "Bierkrug" ou "verre de café" cet objet, rien ne m'en empêche.

Ainsi $5+3i=(5,3)$ est un point. $\mathbb C$ étant l'ensemble des verres de café, qu'on décide d'appeler "le plan complexe", $5+3i$ est un Bierkrug du plan complexe $\mathbb C$.

Cela s'appelle "modéliser". Que le modèle traduise mal le fait de tourner la tête importe peu. C'est le propre des modèles de n'être que des modèles.

L'idée n'est pas celle d'un savant de Marseille mais celle d'Argand. L'idée est fructueuse puisqu'elle se prolonge par celle d'associer à un élément $z=a+ib=(a,b)$ de $\mathbb C$ son $\color{red}\text{module}$ défini par $$\boxed{|z|\doteq \sqrt{a^2+b^2}}$$Sans vouloir boucher le port le Marseille avec des sardines de Douarnenez, ni trahir exagérément la pensée d'Argand, qu'on m'autorise à dire qu'il s'agit de la distance de l'origine $0$ de $\mathbb C$ au point $(a,b)$.

Avec ces idées et quelques autres, on peut modéliser un brin d'herbe, attracteur d'une famille de deux contractions, $AFC({z'= \frac{(4+i)z+4}{10}, z'= \frac{(4+7i)\bar{z}+5-2i}{10}})$ ou plus sérieusement étudier un lapin, ou faire bien des choses.

gerard0

"Si j'ai envie d'appeler "point", ou "Bierkrug" ou "verre de café" cet objet, rien ne m'en empêche. " Non, tu en as le droit légal. mais ne t'étonnes pas que les autres ne te comprennent pas, ce qui m'arrive d'ailleurs très souvent avec toi ... tu dois user et abuser de ton droit de dire n'importe comment un peu n'importe quoi ...

Inutile de me répondre, je ne pourrai pas comprendre, je n'utilise et ne comprends que le français commun et le langage mathématique courant.

Vassillia

Bonjour,

Je sens venir une conversation passionnante (pas vraiment)

Le problème n'est pas d'identifier $\mathbb R^2=\mathbb C$ pour moi, le problème est d'identifier un point avec ses coordonnées.

Il me semble que c'est une erreur car ensuite, comme le dit Math Coss, comment on fait pour changer de repère ?

Le concept de point existe et ensuite on choisit une manière pour le représenter mathématiquement : coordonnées cartésiennes, affixes complexes, coordonnées inclusives... Ce choix dépendra de ce qu'on veut faire par la suite.

Si dans l’apprentissage, on identifie un point avec ses coordonnées, je parie qu'il va y avoir des problèmes par la suite donc je suis plutôt contre, par contre, je m'en fiche qu'on utilise ou non le mot affixe. Personnellement, je l'utilise mais comme il n'est pas spécialement parlant, je veux bien le remplacer par autre chose de plus parlant (donc pas de verre de café ou je ne sais pas quoi...)

stfj

Bonjour,

"Le concept de point existe." Je ne vois pas bien ce que tu veux dire. Peux-tu exprimer ton idée simplement ? J'ai fait une recherche rapide

Concept : Idée générale ; représentation abstraite d'un objet ou d'un ensemble d'objets ayant des caractères communs.

Le concept de chien, de liberté.

Je croyais justement qu'on se moque de savoir ce qu'est un point en mathématiques et qu'on devrait pouvoir remplacer le mot "point" par "Bierkrug"(chope de bière chez Hilbert)

Je dirais au contraire que le concept mathématique de "point" n'existe pas.

Quand au côté ou non passionnant de la conversation, qui sait ? Il y en a bien qui s'interrogent sur la notion de temps et qui en font plus qu'une conversation passionnante.

Ici, un mathématicien à Marseille.

Vassillia

Simplement, je ne sais pas mais j'ai une image mentale, et même plusieurs d'un point, par exemple un objet défini par l'intersection de 2 droites coplanaires ou alors un objet qui a une longueur et une largeur nulle... Je m'en fiche de ce que c'est en mathématiques, comme toujours, c'est à quoi ça peut me servir qui m'intéresse.

Et c'est là que les mathématiques entrent en scène, via les coordonnées, c'est quand même assez pratique pour résoudre des problèmes sur la position relative des points entre eux.

rebellin

Au sujet de l'histoire des nombres complexes (et de leur représentation géométrique), je conseille la lecture du livre Une histoire des mathématiques, de Dahan-Dalmedico et Peiffer. Le chapitre 7 du livre est entièrement consacré à ce sujet.

stfj

Tu tournes autour du pot : tu ne sais pas ce qu'est un point, tu proposes de le définir comme "intersection de deux droites". Mais qu'est-ce qu'une droite ? Tu te rends compte que c'est trop vague et tu écris "je m'en fiche". Et tu décrètes que c'est là que "les mathématiques entrent en scène". Non seulement tu n'as pas répondu à ma question mais en outre tu as cherché à noyer le poisson de Marseille en utilisant un mot savant : "concept" qui ne fait pas avancer le schmilblick.

Aurais-tu intéressé ainsi le jeune Michel Broué à son collège de Privat entre la Sixième et la Troisième ?

i.zitoussi

stfj a dit :

[...] Je dirais au contraire que le concept mathématique de "point" n'existe pas.

Un point est ce qui n'a pas de partie. C'est pourtant clair.

Vassillia

@stfj tout ce que je veux, c'est ne pas identifier un point avec ses coordonnées, le reste, je m'en fiche effectivement.

Peut-être que cela n’intéressera pas Michel Broué (tant pis) mais cela évitera des blocages ultérieurs à des centaines d'élèves.

stfj

Dans $\mathbb R^2$ , on considère $(A,\vec i, \vec j)$, avec $A=(2,0), \vec i=(1,0), \vec j=(0,1)$. Les coordonnéés du point $(0,0)$ dans ce nouveau repère sont alors $(-2,0)$. A part des élèves faisant preuve de mauvaise volonté, je doute qu'on puisse excuser un élève de ne pas comprendre cela en arguant d' "un blocage" insurmontable. Ou alors autant renoncer à la possibilité de tout enseignement. https://www.geogebra.org/classic/httwpkqd

Vassillia

Euh, je ne sais pas dans quel monde tu vis mais changer de repère est une difficulté pour les élèves.

Mais de toute façon, pour pouvoir changer de repère, il faut bel et bien séparer mentalement le point qui ne bouge pas et ses coordonnées (ou son affixe) qui changent donc gardons les mots coordonnées (et affixe faute de mieux) et n'identifions pas le point avec ses coordonnées (ou son affixe).

Foys

Points, droites etc sont des fictions mathématiques. Au moins en posant $\C:= \R^2 := plan$ on définit les objets et on réduit le nombre d'actes de foi que les destinataires du message sont obligés de faire (les notions de géométrie classique ne représentent pas exactement le monde physique et on le sait depuis des découvertes comme la relativité).

Héhéhé

stfj a dit :

Dans $\mathbb R^2$ , on considère $(A,\vec i, \vec j)$, avec $A=(2,0), \vec i=(1,0), \vec j=(0,1)$. Les coordonnéés du point $(0,0)$ dans ce nouveau repère sont alors $(-2,0)$.

Donc pour toi $(0,0) = (-2,0)$ ???

Foys

Quant à l'objection "$\R^2$ possède une origine privilégiée, le vrai plan (kézaco ?) non": certes mais $\R^2$ possède également un groupe d'applications privilégiées (dites "affines": celles de la forme $(x,y) \mapsto (a,b)+f(x,y)$ où $(a,b)\in \R^2$ et $f\in GL_2(\R)$) qui est tel que certaines bonnes propriétés dites aussi "affines" sont préservées par ce groupe. On pourrait aussi évoquer certains sous-groupes remarquables dudit groupe.

stfj

$"$Nous allons maintenant définir l'addition des points. Si $A$ et $B$ sont les deux points $$A=(3,5)\quad B=(7,8)$$alors on définit le point $A+B$ comme celui dont les coordonnées sont : $$(3+7,5+8)$$

De plus, on définit $7A$ comme le point dont les coordonnées sont$$(7\times 3,7\times 5)"$$

(Linear algebra, Serge Lang, traduit par Braemer et Richard de Lyon 1, interéditions 1976, p.5, qui démontre à la fin de son livre pour débutants, le théorème de Krein-Milman)

Julia Paule

Des phrases prises au hasard dans le lien Wiki que tu as donné : https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_complexe

"La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes points. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe point."

"Une rotation d'un angle θ autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe du point par le nombre e^iθ, qui est un nombre complexe de module 1."

Bof pour la pédagogie, quelle embrouille.