Nom de l'identité $a^n - b^n = ...$

Heuristique

Bonsoir,

Un ami écrivant actuellement un cours sur les sommes pour Licence 1 de maths m'a posé la question suivante : l'identité bien connue $a^n-b^n = (a-b)\left(\sum\limits_{k = 0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}\right)$ a-t-elle un nom ?

Parmi quelques références sur le sujet, j'ai trouvé :

1) Identité de Bernoulli : cela me dit vaguement quelque chose mais ne me semble pas usuel (je l'ai beaucoup vue et utilisée, jamais nommée ainsi).

2) Télescopage : certes, mais cela désigne quelque chose de plus général.

3) Factorisation remarquable : soit, c'est une factorisation d'identité remarquable.

4) "L'identité sans nom" qui n'est pas très sérieux mais m'a beaucoup fait rire.

Auriez-vous d'autres noms en tête pour cette identité ? Utilisez-vous beaucoup le nom "identité de Bernoulli" et est-ce lui qui a été le plus lié à cette formule ?

Merci d'avance.

Heuristique

Poirot

Ce n'est rien d'autre que la somme d'une progression géométrique de manière cachée donc ça ne mérite pas de nom particulier à mon avis. En supposant $a \neq 0$ par exemple et $a \neq b$ divise les termes de gauche et de droite par $a^n$ puis par $1-b/a$. La démonstration est d'ailleurs exactement la même.

gerard0

Bonjour.

Comme c'est une simple généralisation des factorisations de $a^2-b^2$ et $a^3-b^3$, ça n'a pas été une grande découverte, nécessitant de l'attribuer (même faussement) à quelqu'un. Comme Pascal en parle, appelle-la "identité remarquable de Pascal" si tu veux.

Cordialement.

Héhéhé

J'ai toujours entendu les noms de "formule de Bernoulli" ou "identité de Bernoulli".

Heuristique

Bien, cela me rassure sur le fait qu'il n'y a pas unanimité sur le nom de cette identité. Merci à tous pour vos réponses.

Chaurien

Moi je n'ai jamais vu de nom pour cette identité. C'est une identité importante, mais  très simple à démontrer comme le dit @Poirot, et elle n'a pas besoin de nom. Mais après cette question, je me suis aperçu qu'on l'attribuait parfois à Bernoulli, pourquoi pas ?

dirikly

Théorème de la suite géométrie puisque on peut relier cette identité à une somme de termes d'une suite géométrique.