Livre algèbre commutative

Calembour

Bonjour,
J'aimerais m'initier à l'algèbre commutative et traditionnnellement pour aborder une nouvelle matière, j'aime bien commencer par des livres en français.

En fouillant un peu, un livre revient souvent c'est celui de Claude Quitté et Henri Lombardi : Algérie commutative, méthodes constructives 

Est-ce que certains parmi vous connaitraient ce livre ou d'autres livres d'algèbre commutative en français qui seraient bons pour débuter ?

Cordialement,
Calembour

JLapin

L'immense majorité des publications de Calvage et Mounet sont de très grande qualité et le livre susnommé n'échappe pas à la règle selon moi.

https://arxiv.org/abs/1611.02942

Poirot

Attention, le livre en question est évidemment d'une très grande qualité mais je ne pense pas qu'il soit adapté pour débuter en algèbre commutative, d'autant que le point de vue constructif défendu est hautement non traditionnel.

En français je peux te recommander le Algèbre commutative de M.-P. Malliavin chez Elsevier. Malheureusement c'est un vieux livre et il n'est plus édité, donc tu auras sûrement du mal à le trouver à prix abordable.

Pour rester chez Calvage & Mounet, le superbe Algèbre : le grand combat de G. Berhuy te fournira d'excellentes bases avec ses parties dédiées à la théorie des anneaux et la théorie des corps, et contient aussi beaucoup de choses sur les groupes et l'algèbre linéaire.

Sinon il y a toujours l'Algèbre de Serge Lang chez Dunod qui reste une référence.

agregagreg2

En regardant un peu sur certains sites, y'a pas grands choses en français, à part cet ancien livre. 

En regardant les sommaires de quelques cours en ligne d'algèbre commutative, j'ai l'impression que c'est souvent approfondissement sur les anneaux + modules. Et le livre mentionné ci-dessus parle beaucoup de modules dans les titres, donc pourquoi pas voir du côté des livres sur les modules ? 

Peut-être ceux -là ? 
* [Szpirglas]
* [Berhuy]  
* [Modules sur les anneaux commutatifs]

D'ailleurs on pourrait se demander si leur propre livre sur les modules n'a pas été écrit pour préparer leur livre d'algèbre commutative. 

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Dommage de se limiter au français !

Pour moi, le Atiyah-MacDonald est insurpassable comme introduction à l'algèbre commutative. Et il se trouve facilement :

https://drive.google.com/file/d/0B0PpPgJNsronY3NUc2ZOTU90Skk/preview?resourcekey=0-OD15g0TGztga1K5kck4Gmw

Calembour

Finalement apparemment les livres en anglais me paraissent plus pertinents pour débuter...

Merci à @GaBuZoMeu pour le livre d'Atiyah qui a vraiment l'air très bien. En cherchant d'autres titres en anglais je suis tombé sur celui là, quelqu'un connait ce livre ? Il a l'air assez populaire si j'en crois les commentaires 

Poirot

Oui j'ai le Eisenbud, il est vraiment super, mais ce n'est pas un livre pour débuter non plus.

Calembour

Poirot a dit :

Oui j'ai le Eisenbud, il est vraiment super, mais ce n'est pas un livre pour débuter non plus.

Dans ce cas je pense me diriger vers le Atiyah conseillé par Gabuzomeu

i.zitoussi

J'ai feuilleté un peu le livre d'Atiyah et MacDonald donné par Gabuzomeu. Ils posent dès le début que $A$ est un anneau commutatif et ne le rappellent plus après. Si bien qu'on trouve pas mal d'assertions du style "$m$ est un idéal maximal de $A$ $\Leftrightarrow$ $A/m$ est un corps", sans plus de commentaire. Je trouve ça un peu déroutant, car si on commence comme ça, il y a certaines choses qu'il faudra désapprendre plus tard.

Barjovrille

Bonjour j'ai lu plusieurs parties du Atiyah-Macdonald il est très bien. Quand je lis un livre j'aime bien en avoir au moins un autre avec moi pour avoir différents points de vue au cas où il y a des blocages. Tu peux regarder aussi :
https://agag-gathmann.math.rptu.de/de/commalg.php ce sont des notes de cours (niveau bachelor ?) donc il va un peu moins vite que les références classique si jamais tu rencontres des problèmes.

GaBuZoMeu

i.zitoussi a dit :

J'ai feuilleté un peu le livre d'Atiyah et MacDonald donné par Gabuzomeu. Ils posent dès le début que $A$ est un anneau commutatif et ne le rappellent plus après. ... Je trouve ça un peu déroutant, car si on commence comme ça, il y a certaines choses qu'il faudra désapprendre plus tard.

Ne pas oublier qu'on parle d'algèbre commutative !

Il ne faut surtout pas désapprendre que $\mathfrak m$ est un idéal maximal de l'anneau (commutatif) $A$ si et seulement si $A/\mathfrak m$ est un corps.

Calembour

i.zitoussi a dit :

J'ai feuilleté un peu le livre d'Atiyah et MacDonald donné par Gabuzomeu. Ils posent dès le début que $A$ est un anneau commutatif et ne le rappellent plus après. Si bien qu'on trouve pas mal d'assertions du style "$m$ est un idéal maximal de $A$ $\Leftrightarrow$ $A/m$ est un corps", sans plus de commentaire. Je trouve ça un peu déroutant, car si on commence comme ça, il y a certaines choses qu'il faudra désapprendre plus tard.

Petite précision : Je ne sais pas exactement ce qu'est l'algèbre commutative vu que je découvre mais le résultat énoncé n'estn'est-il pas un simple résultat de théorie des anneaux (theorie des idéaux) ?
 
Je ne sais pas exactement ce qui pourrait différencier la théorie des anneaux/idéaux de l'algèbre commutative. 

Pour remettre du contexte, je suis déjà assez à l'aise avec la théorie des anneaux et des idéaux ''de base''. Et même si j'ai quelque peu oublié j'ai déjà fait de la théorie des modules appliquée à la théorie algébrique des nombres (corps de nombres)

Je ne sais pas exactement dans quel cadre se place l'algèbre commutative si au final ça englobe la théorie des anneaux la théorie des modules etc., si tout ceci est une branche de l'algèbre commutative 

L'algèbre commutative est encore un domaine un peu flou pour moi

i.zitoussi

GaBuZoMeu a dit :

Ne pas oublier qu'on parle d'algèbre commutative !

Oui, j'avais bien compris. Ce que je voulais dire, c'est que si on ne connait rien au-delà de l'algèbre linéaire, mieux vaut prendre un livre sur les algèbres associatives (en général), puis regarder ce qui se passe pour les algèbres commutatives, que faire le chemin inverse. C'est mon avis, qui vaut ce qu'il vaut vu que je ne suis pas expert. Apparemment ça ne s'applique pas à Calembour, mais peut-être à de futurs lecteurs du fil.

Un livre que j'avais trouvé bien : Richard S. Pierce, Associative Algebras  (1982).

A ne pas confondre avec Benjamin Peirce, Linear Associative Algebra (1882, soit 100 ans plus tôt !! Notice Wikipedia).

GaBuZoMeu

si on ne connait rien au-delà de l'algèbre linéaire, mieux vaut prendre un livre sur les algèbres associatives (en général), puis regarder ce qui se passe pour les algèbres commutatives,

Non, ça ne me semble pas raisonnable. Les polynômes sur un corps, la résolution de systèmes polynomiaux, ça me semble le plus important. J'ajoute une excellente réference complémentaire, sur l'aspect algorithmique :

Cox, Little et O'Shea : Ideals, Varieties and Algorithms

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-16721-3

Kraw

@i.zitoussi  Pour le coup, je pense aussi qu'il existe une question de goût et de découverte. Certains préfèrent aller du général au particulier, d'autres ont besoin de maitriser un cas particulier puis généraliser.
Il me semble aussi plus logique de faire le cas général, et par la suite, de se restreindre au cas commutatif, pourtant à cause de la fac, j'ai clairement fait l'inverse et cela est aussi possible.
Je ne sais pas après si c'était le mieux ou non.

Si l'algèbre commutative fait référence à la théorie des modules sur un anneau commutatif (le cas classique en théorie algébrique des nombres), en référence sur internet :
http://www.mat.uniroma3.it/users/fontana/didattica/coursg1.pdf.pdf le cours de M1 de Antoine Chambert-Loir en algèbre commutative (j'ai pas forcément cherché la version la plus récente donc cherche sur son site) me parais une bonne source.

En livre, autant commencer par l'évidence et le plus complet  (et pas le plus abordable pour commencer) :

_Bourbaki "Algèbre commutative"

Sinon, sans troller, je pense que Atiyah-Macdonald est une excellente source, j'ai souvent trouvé le style très concis, clair et sans habillage inutile.

GaBuZoMeu

Il me semble aussi déplacé de penser que l'algèbre commutative est un chapitre particulier de la théorie des algèbres associatives que de penser que la théorie des groupes est un chapitre particulier de la théorie des monoïdes ou la théorie des corps un chapitre particulier de la théorie des algèbres à division.

Les méthodes et les objectifs sont clairement différents.

Martial

@Poirot : j'ignorais que le remarquable livre de Serge Lang (que j'ai rencontré par hasard en 1982*) "Algebra" avait été traduit en français. Merci pour le tuyau !

* Le Monsieur lui-même, pas le livre, lol.

Foys

Il y a aussi une théorie des anneaux non commutatifs qui est riche et ne procède pas des mêmes techniques que l'algèbre commutative. Il est donc normal de réserver des livres dédiés aux deux domaines.