
Variation angulaire de l'axe d'une parabole
Bonsoir,
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont des points 2 à 2 distincts du cercle trigonométrique. Alors les axes de symétrie des deux paraboles passant par ces points sont orthogonaux :

Je fais varier le point $A(1;\alpha)$ sur le cercle, les trois autres restant fixes.
Est-il vrai que si l'angle $\alpha$ varie de $\epsilon$ alors ceux des
axes des paraboles varient du quart de $\epsilon$ (dans le même sens) ?
Réponses
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Mon cher LudwigVoici ma propre figure sur laquelle j'ai pu vérifier ta conjecture.Comme je l'ai déjà dit, il n'y a jamais rien de nouveau sous le soleil de la géométrie plane.Cette configuration est donc archiconnue et ici ou là dans quelques infâmes vieux grimoires dont il vaut mieux taire le nom trainent des démonstrations délétères aussi bien synthétiques que calculatoires qu'il vaut mieux oublier pour des raisons de salubrité publique.A toi de les retrouver!Sur ma figure, je suggère que le lieu des sommets des gudules des axes est un cercle de rayon $\dfrac 14$ et dont le centre est le point d'affixe $\dfrac{b+c+d}4$ quand $a$ décrit le $DCT$, (le divin cercle trigonométrique), le seul cercle et même la seule conique encore un tant soit peu connue de nos jours!Tout cela pour dire que le sommet du gudule des axes est l'isobarycentre du quadrangle $(A,B,C,D)$.Autant dire qu'avec les programmes actuels, on en est resté au système de Ptolémée qui lui, au moins, avait le mérite de contempler la voute étoilée!AmicalementpappusPSConsulter en particulier Les exercices de Géométrie Moderne (prière de ne pas rire!) de J.Lemaire publié chez Vuibert $1937$, exercice $3$, page $12$.
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Bonjour à tous
Les souvenirs me reviennent en pagaille et on devrait les retrouver dans les Saintes Ecritures dans les versets adéquats.
Toutes les coniques du faisceau $PPPP$ passant par le quadrangle $ABCD$ ont les mêmes directions d'axes à savoir ceux des gudules des bissectrices des paires de droites $(AB,CD)$, $(AD,BC)$, $(AC,BD)$
Comme on sait que les axes des deux paraboles passent par l'isobarycentre $\Omega$ du quadrangle $(A,B,C,D)$, on en déduit les axes de ces deux paraboles puis par un petit effort supplémentaire les paraboles elles mêmes.
Amicalement
pappus
Pour le plaisir, j'ai tracé en violet l'enveloppe des axes des deux paraboles quand $A$ décrit le $DCT$.
Je cite toujours le glossaire mais je me dois de vanter aussi le livre de notre ami john_john:Géométrie Analytique Classique de Jean-Denis Eiden publié chez Calvage &Mounet bien antérieur au glossaire, bien meilleur pour aborder la géométrie,projective et qui a le gros avantage d'être écrit dans la langue de Molière!
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Bonjour Pappus,Merci de ces développements très intéressants !Tu mentionnes le livre de @john_john dont je suis l'un des heureux possesseurs, mais malheureusement, pour avoir très récemment cherché où se le procurer pour @stfj,, je puis t'informer qu'apparemment, il a véritablement disparu des radars d'Internet ... Indisponible chez Amazon, épuisé chez l'éditeur ...J'ai lancé une discussion à son sujet : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338516/geometrie-analytique-classique-de-jean-denis-eiden#latestBien amicalement, Jean-Louis B.
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Mon cher jelobreuilC'est vrai que j'ai un exemplaire de ce livre mais à vrai dire, je n'en ai jamais vraiment eu besoin.Je peux l'envoyer à stfj si celui ci veut bien me communiquer son adresse par la messagerie du forum.Amitiéspappus
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Bonjour tout le monde,Une petite remarque logicielle : quand on a la direction asymptotique $\delta$ de la parabole mais pas son axe on peut quand même la tracer, et cela sans avoir à en chercher un cinquième point. On triche un peu en prenant un point "à l'infini", avec la commande :Conique (A,B,C,D, (10^20 ; arctan(pente($\delta$))).La parabole sera reconnue en tant que telle, en tous cas par GeoGebra.
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