Champ de l'électron

Tamasushi

Bonjour,

Je suis en train d'étudier l'électrodynamique quantique et à un moment cette expression pour le champ de l'électron:

$$
\psi(x) = \sum_s \int_k b_{\vec k s} u(\vec k s) e^{-i kx} + d_{\vec k s } ^\dagger v(\vec k s ) e^{ikx}
$$

avec $s$ le spin, $k$ le quadri vecteur d'onde, $\vec k$ le vecteur d'onde, $b_{\vec k s}$ un opérateur annihilation de l'électron, $d_{\vec k s}^\dagger$ un opérateur création du positron, $u$ et $v$ des spineurs de Dirac et $kx= k_\mu x^\mu$.

Mais je ne comprends pas plusieurs éléments dans cette expression:

1) Puisqu'on veut exprimer le champ de l'électron, pourquoi ce n'est pas un $b_{\vec k  s}^\dagger$ qui apparaît ?

2) Qu'est-ce qu'on fait de ce champ: pour dire qu'on crée un électron est-ce qu'ensuite on l'applique au vide: $\psi(x) |0 \ \rangle$ ?

3) Cette fonction n'est pas intégrable: est-ce qu'on n'est pas censé ajouter une fonction de carré intégrable dans l'expression ?

4) Sur les spineurs: j'ai lu que $u$ était une solution à l'équatiion Dirac d'énergie positive et $v$ négative: pourquoi ??

Merci.

YvesM

Bonjour,
La fonction $\psi$ n’est pas le champ de l’électron. Comme tu l’écris c’est « un opérateur du champ électronique ». 

Quand on l’applique au vide, on crée un électron en $x$. Quand on l’applique sont complexe hermitien sur un état à une particule on annihile un électron en $x$. 

1/ Le champ électronique est composé (dans ce modèle simple) d’électrons et de positions. L’équation de Dirac doit être respectée en sa symétrie. 

2/ Oui. Quand on applique ce champ électronique sur le vide $|0>$ on crée un électron en $x.$

3/ Ce n’est pas une fonction mais un opérateur. 

Et comme vu en mécanique quantique premier semestre on décompose toute fonction d’onde (physique donc de carré sommable) sur les ondes plates : exponentielle qui ne sont pas de carré sommable (et donc non physique). Ce n’est pas bien grave puisque on peut modéliser toute fonction sur cette base si on a besoin de calculer les probabilités de présence de la particule en un point donné. En général on utilise une gaussienne dans la plupart des expériences de labo.  

4/ Les spineurs et la structure de cet opérateur du champ électronique doivent respecter l’équation de Dirac et toutes ses symétries. Donc spineurs associés à une énergie positive (particule) et à une énergie négative (antiparticule). Dans la théorie quantique des champs, le but du jeu est de formuler tous les opérateurs agissants sur les champs compatibles avec l’équation de Dirac. 

Tamasushi

Bonjour,

Tout d'abord merci de cette réponse.

Effectivement c'est l'opérateur champs.

1) Je me suis peut-être mal exprimé: on écrit l'opérateur $\psi$ avec $b_{\vec k s}$ qui est un opérateur destruction. Ne devrait-on pas utiliser un opérateur de création $b_{\vec k s^\dagger}$ ?

2) Est-ce que ça un sens de dire qu'un électron est créé précisément au point $x$, notamment par rapport à l'inégalité de Heisenberg ? Est-ce que c'est justement parce qu'on considère des fonctions en ondes planes non-intégrables donc non-physique qu'on peut se permettre de dire que c'est précisément en $x$ puisque c'est juste un cas idéalisé qu'on considère ?

4) Je n'ai pas bien compris ton explication. Mon explication portait en réalité plus particulièrement sur les spineurs eux-mêmes que sur leur lien avec cet opérateur $\psi$ (même comme ils apparaissaient et que ce n'était pas bien clair...). Je n'ai juste pas compris pourquoi on peut dire que ce sont des solutions de l'équation de Dirac d'énergie positive (resp. négative). 

Merci.

YvesM

Bonjour,
1/ L'opérateur du champ électronique contient un opérateur d'annihilation d'un électron et de création d'un position. Tu remarqueras que la charge est conservée. On peut appliquer l'opérateur conjugué hermitien pour créer un électron. Ce n'est pas la peine dans ce formalisme de mettre tous les opérateurs dans le champ électronique. 
2/ En mécanique quantique on peut parfaitement définir la position d'une particule ; en $x$ qui est le temps et les coordonnées spatiales. On se fout bien de l'inégalité de Heisenberg puisqu'on ne dit rien sur le vecteur d'onde qui est l'énergie et l'impulsion. 
4/ Je te renvoie au cours. On étudie d'abord Dirac et ses solutions avec spineurs ; puis son interprétation en particule et antiparticule... puis en énergie positive qui voyage dans le sens du temps et d'énergie négative qui voyage dans le sens inverse du temps.