Probabilité conditionnelle

Kcg

Bonjour à tous.

Concernant l'exercice ci-joint, je rencontre un certain nombre de difficulté. Voici ce que j'ai fait : 
On définit les évènements suivants : 
M:"l'enfant testé est malade"; P:"le résultat du test est positif". Alors d'après l'énoncé, on a : $$\mathbb{P}(M)=\frac{620}{100000},\;\mathbb{P}(\bar{P}|M)=\frac{5}{500}=0,01;\; \mathbb{P}(P|\bar{M})=\frac{50}{2000}=0,025$$

1) Je ne comprends pas ce qu'on attend de moi dans le premier volet de cette question. Quand on parle de parier, à quoi fait-on référence s'il vous plaît ?

Pour la probabilité cherchée j'ai $$\mathbb{P}(M|P)=\frac{\mathbb{P}(P|M)×\mathbb{P}(M)}{\mathbb{P}(P|M)×
\mathbb{P}(M)+\mathbb{P}(P|\bar{M})\mathbb{P} (\bar{M})}$$

2) Je ne comprends pas également le premier volet de la question.

Mais pour la probabilité, j'ai : $$\mathbb{P}(M|\bar{P})=\frac{\mathbb{P}(\bar{P}|M)×\mathbb{P}(M)}{\mathbb{P}(\bar{P}|M)×\mathbb{P}(M)+\mathbb{P}(\bar{P}|\bar{M})\mathbb{P} (\bar{M})}$$

3) ici, je pense que la probabilité à la question 1) serait $1$ et à la question 2), elle serait $0$

Quelqu'un aurait une idée pour m'éclairer sur mes incompréhensions ? Merci d'avance.

lourrran

Pour la question 1, on a devant nous un enfant qui a été testé positif. Peut-être que le test a bien fonctionné ($A$), et l'enfant est réellement malade. Ou peut-être que c'est un faux-positif ($B$) (c'est l'expression couramment utilisée), et qu'en fait, le test a foiré, et l'enfant n'est pas malade.
Ce qu'on demande, c'est quelle est la probabilité qu'on soit dans le cas $A$ ?
Et pour la question 2, c'est très similaire.

Kcg

Si je vous comprends bien, le premier volet de la question 1) consiste à déterminer la probabilité qu'on ait un vrai positif ? Dans ce cas, comment faire pour le c calculer, s'il vous plaît ?

Kcg

Mais moi, j'ai toujours l'impression que le premier volet de la question et le second demandent la même chose.

NicoLeProf

Bah en question 1, on te demande, je pense, $P_P(M)$ que tu notes $P(M|P)$ (la probabilité d'être malade sachant que le test est positif). Donc ce que tu as fait est bon.

Quant à la formulation des premiers volets des questions 1 et 2 (mais cela n'engage que moi), je la trouve a minima maladroite et même mal fichue. Je ne sais pas ce que la personne ayant posé l'exo attend par "à combien peut-on parier ..." ou cette histoire de pari en général. Et donc perso, j'ignorerais les premiers volets en question et je répondrais uniquement avec des probas donc mathématiquement (ce que tu as très bien fait avec tes formules de probas d'ailleurs).

lourrran

à combien peut-on parier .. 
Avec quelle probabilité ...
Tu peux considérer que c'est effectivement 2 façons de demander exactement la même chose.
Je pense voir (sans certitude) la différence entre les 2 questions ; en fait, tout le début des calculs est exactement le même, et ce serait dans la présentation finale qu'on ferait une différence... considère que c'est 2 façons de demander la même chose.

Comment le calculer ... C'est à toi de le faire, mais je te donne un indice : Tableau à double entrée.

Kcg

D'accord, merci @NicoLeProf.

@lourrran avez vous vu ce que j'ai proposé comme calcul ? À part ces calculs, je ne vois d'autres en utilisant votre indice.

JLapin

NicoLeProf a dit :

Quant à la formulation des premiers volets des questions 1 et 2 (mais cela n'engage que moi), je la trouve a minima maladroite et même mal fichue. Je ne sais pas ce que la personne ayant posé l'exo attend par "à combien peut-on parier ..." ou cette histoire de pari en général.

L'auteur est soit complètement ignorant de ce qu'est un pari, soit complètement fou de parier sur des enfants malades ou non...

Dans le premier cas, je ne sais pas pourquoi il utilise cette terminologie qu'il ne comprend pas et dans le second cas, il devrait se faire soigner.

Sinon, sans regarder dans les détails, les probabilités proposées me semblent correctes.

lourrran

J'ai déjà rencontré la double formulation sur des sites de bookmakers : on a des cotes qui sont sous la forme 3 contre 1 ou 75% (et ces 2 formulations correspondent à la même probabilité). En France, on écrit évidemment 75%, mais il se peut que dans certains pays, on préfère l'autre écriture.

Kcg

@JLapin le comble c'est que c'est un ancien sujet d'un concours sous-régional. Dans tous les cas, merci à vous.