Caractérisation des fonctions hölderiennes

john_john
Modifié (August 2024) dans Analyse
Bonjour,

dans le fil https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/1165351/fonction-du-type-hoelder#latest, il s'agit de démontrer une inégalité höldérienne, avec une constante multiplicative $K_f$ imposée.

Pour une fonction dérivable $f$, disons définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\R$ ou $\C$, on sait si elle est lipschitzienne et, dans l'affirmative, on sait en trouver la constante de Lipschitz $K_f$.

Y a-t-il une CNS analogue pour caractériser les applications höldériennes ? L'inégalité de Hölder donne une CS, mais est-elle nécessaire ? 

Si $f$ est $a$--höldérienne, sait-on trouver la meilleure constante $K_f$ telle que $|f(y)-f(x)|\leqslant K|y-x|^a$ pour tout $x$ et tout $y$ dans $I$ ?

Réponses

  • etanche
    Modifié (August 2024)
    @ john john peut-être tu peux proposer à questions&réponses de RMS, comme tu avais proposé l’idée pour une question en analyse.
  • Bonne idée (quoiqu'il faille alors attendre au mieux un an pour avoir la réponse  :s)
  • Y a-t-il une CNS analogue pour caractériser les applications höldériennes ? L'inégalité de Hölder donne une CS, mais est-elle nécessaire

    Non :  sur $]0,\,1]$, la fonction racine carrée est $\displaystyle\frac12$--lipschitzienne mais sa dérivée n'est pas de carré intégrable.
  • john_john a dit : 

    Si $f$ est $a$--höldérienne, sait-on trouver la meilleure constante $K_f$ telle que $|f(y)-f(x)|\leqslant K|y-x|^a$ pour tout $x$ et tout $y$ dans $I$ ?

    Je ne comprends pas très bien : ta question, c'est "comment trouve-t-on la borne supérieure de l'ensemble qui va bien" ?
    Ca me semble trop vague comme question mais j'ai peut-être loupé quelque chose dans la lecture de ton message.
  • Oui, bien sûr ; c'est mutatis mutandis la définition usuelle de la constante de Lipschitz.

    Nota bene : depuis mon dernier message, je propose une autre CS (qui n'a pas non plus l'heur d'être nécessaire) : si $f$ est réelle, de signe constant positif, et si $f^a$ est lipschitzienne, avec $a>1$, alors $f$ est $a'$--höldérienne, avec $a'=1/a$.
  • Remarque : c'est peut-être l'épithète meilleure constante qui te gêne ; pour moi, c'est la plus petite, ou la plus grande : c'est selon. Ici c'est la plus petite mais c'est aussi une borne supérieure, comme tu le fais remarquer.

    Va comprendre, Charles...
  • Effectivement. La fonction $x \mapsto 1+\sqrt{|x|}$ est $1/2$-höldérienne mais son carré, la fonction $x\mapsto |x|+ 2\sqrt{|x|} + 1$ n'est pas lipschitzienne.

    Dans les questions (non résolues) de la RMS il y en a une qui ressemble en gros à ça :
    Soit $C$ le convexe des fonction $f: [0;1] \to \R$ qui sont $\alpha$-höldériennes de constante $1$ et vérifiant $f(0)=0$. Caractériser les points extrémaux de $C$.

    Cela laisse penser qu'il est un peu pénible de caractériser correctement les fonctions $\alpha$-höldériennes d'une constante donnée.

  • john_john a dit :
    Remarque : c'est peut-être l'épithète meilleure constante qui te gêne

    Non, c'est juste le fait d'envisager de chercher une formule pour cette constante optimale dans le cas général pour une fonction $f$ donnée qui me semble un peu irréaliste.
  • Irréaliste, peut-être ! J'espérais une formule comme il en existe pour la constante de Lipschitz des fonctions dérivables.
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