Un tour de baguette

lourrran

Quand B a parcouru C, A  ne l'a pas fait. 
Mais si on continue le mouvement, est-ce que A est confiné dans une portion de la courbe ?
Ou bien on peut continuer le mouvement, et A va lui aussi finir par parcourir toute la courbe ?
Si A est confiné, alors ça répond totalement à la question (celle que j'ai fini par comprendre, celle qui pourrait ouvrir des horizons nouveaux).
Et je serais très surpris.
Si à un instant $t$, B a parcouru toute la courbe, et A n'a pas encore parcouru toute la courbe, je ne crois pas que la question ait été posée, et je pense qu'une telle courbe est assez facile à obtenir.

depasse

La question n'a donc pas encore été posée et ma courbe est élémentaire: un brave demi cercle tendu par son diamètre et $AB$ son rayon.
Bien sûr $A$ ne confine pas si $B$ ne s'arrête pas. Et, comme toi, ça me clouerait le bec (mais j'ai l'habitude) qu'on me déniche un cas de confinement

plsryef

Si la baguette est assez petite elle les deux extrémités vont parcourir le polygone toutes les deux, sur le schéma donné, la baguette est sur un côté en début d'animation, et sur l'autre côté en fin d'animation, et dans ce cas pourvu que la baguette soit assez petite, elle pourra faire autant de tour qu'on veut sur le polygone, mais on s'en doutait, et la baguette aura toutes les orientations, puisqu'elle fait un tour complet, en tout cas c'est vrai pour les angles aigus du polygone, mais le parcours ne se fait pas de façon croissante: il y a des points visités 3 fois par l'une ou l'autre des extrémités avant de revenir après un tour.

.

Domi

Je me permets une petite parenthèses car nous avons tous de plus en plus de mal à savoir à quelle question on est en train de répondre . Je suis le premier responsable à cause d’une première rédaction peu claire suivie de multiples questions annexes ou de réponses décalées . Je propose qu’on numérote les questions , il suffira ensuite de préciser systématiquement la question à laquelle on est en train de répondre . J’ai essayé d’être exhaustif mais d’autres questions peuvent apparaitre en fonction de résultats obtenus chacun pourra ajouter la sienne avec un nouveau numéro . J’ ai ajouter celles qui me sont venues en écrivant

Le cadre général de l’exercice : une baguette rectiligne se déplace en gardant continuellement ses extrémités sur la frontière d’un polygone simple du plan . On se propose d’étudier les comportements de cette baguette qui dépendent bien sûr de sa taille et de sa position initiale .

Il me semble que parmi les problèmes évoqués un seul est vraiment résolu :

1°) Chaque point de la frontière du polygone peut être visité par les extrémités de la baguette sans qu’aucune d’entre elles n’ait parcouru l’ensemble du périmètre .

On peut prendre par exemple un rectangle ou le pentagone de @marco .

Autres questions non résolues :

2°) Est-il possible qu’une des extrémités d’une baguette parcourt toute la frontière du polygone pendant que l’autre n’en parcourt qu’une partie .

3°) Est-il possible qu’une des extrémités de la baguette parcourt toute la frontière du polygone alors que l’autre ne peut pas le faire ?

4°) Les deux extrémités de la baguette peuvent chacune parcourir l’ensemble de la frontière du polygone mais dès que cette condition est réalisée la baguette ne peut pas échapper au cycle « retour à la position initiale puis à la position finale » . Possible ou pas ?

5°) Les deux extrémités de la baguette parcourent l’ensemble du périmètre , l’intérieur de la baguette a-t-il forcément couvert tout l’intérieur du polygone ?

6°) Pour quelles valeurs de n existe-t-il un polygone non convexe à n côtés dans lequel une baguette peut réaliser plusieurs tours sans jamais sortir du polygone ?

Surtout ne pas hésiter à critiquer la formulation ou l’ordre des questions , on gagne du temps quand les problèmes sont posés clairement .

Domi

depasse

Bonjour
@Domi, très bonne idée que ta numérotation: j'ai eu la même cette nuit .
Je réponds oui à ta question 2°): Est-il possible qu’une des extrémités d’une baguette parcoure toute la frontière du polygone pendant que l’autre n’en parcourt qu’une partie .
$C$ est un triangle $PQR$ rectangle isocèle en $Q$. $O$ est le milieu de $RP$. La longueur de la baguette $AB$ est $RO$.
La position initiale de $A$ est $R$, celle de $B$ est $O$. $B$ décrit le triangle en passant successivement par $P,Q,R$ et revient à $O$.
Tandis que $B$ a décrit le triangle, $A$ ne s'est promené que sur le segment $RP$.

Edit: La réponse à la question 5) est clairement: non, pas forcément.
En revanche, je ne sais pas répondre à la question 5bis (?): Si $l$ est la longueur maximale d'une baguette telle que ses deux extrémités
parcourent (chacune?; à elles deux?) l'ensemble du périmètre, alors une baguette de longueur $l$ "balaie"-t-elle tout le polygone (au sens "surface")?
Ma question mérite d'être mieux exprimée!
Cordialement
Paul

Domi

OK pour les questions 2°) et 5°) ( en prenant une petite baguette pour le deuxième ) . Je te propose une autre formulation pour tes variantes de la question 5°) .

5°) bis : On considère la plus grande baguette telle que chaque point du périmètre peut être atteint par une de ses extrémités . Cette baguette peut-elle toujours atteindre tout point à l'intérieur du polygone ?

5°) ter : On considère la plus grande baguette dont chaque extrémité peut parcourir le périmètre du polygone . Cette baguette peut-elle toujours atteindre chaque point à l'intérieur du polygone ?

Bien sûr 5°) ter est sans intérêt si on a répondu oui à 5°) bis   

Domi

plsryef

pour la 5bis avec un carré ça donne ceci lorsque la largeur de la baguette est la largeur du carré, dans ce cas les deux extrémités parcourent le carré, mais la baguette de recouvre pas tout le carré, mais je ne sais sait que si deux extrémités peuvent toutes les deux parcourir le carré, je ne sais pas si cette baguette là est la plus grande dans ce cas (en fait je pense que si mais pas de preuve).

Il se pourrait qu'il y ait une baguette plus grande qui dont une des extrémités parcourt tout l'intérieur du carré, sans que l'autre parcourt tout le périmètre du carré.

Domi

D'accord , encore un cas de réglé , en ce moment je suis plutôt sur la question 4°) et je suis quasi-persuadé que la réponse est non , la baguette pourra toujours ( algébriquement ) effectuer autant de tours qu'on le souhaite .
Domi

Domi

Pour la question 4°) , il n’est pas possible que la baguette soit bloquée dans un aller et retour permanent . En fait le problème est uniquement topologique , on peut considérer que les deux extrémités de la baguette se déplacent sur un cercle orienté sans se rencontrer mais sans forcément respecter leurs distances mutuelles . Chacune peut effectuer un tour complet dans un sens ou dans l’autre et on veut que chaque extrémité puisse réaliser autant de tours qu’on le souhaite ( les tours étant comptés algébriquement c’est-à-dire que trois tours dans le sens direct et un tour dans le sens rétrograde équivaut à deux tours dans le sens direct ) . On note (D,F) la position initiale de la baguette dont les extrémités sont désignées par d et f . On commence par effectuer toutes les manœuvres qui permettent à chaque extrémité de la baguette de parcourir l’ensemble du périmètre . On observe le mouvement dans sa chronologie et on s’arrête dès que l’une des extrémités a parcouru toute la frontière . A cet instant une des extrémités de la baguette se situe en D ou F et cette extrémité a réalisé exactement un tour . On peut supposer sans problème que cette extrémité est d et que le tour a été réalisé dans le sens direct . Où se situe alors f ? Certainement pas en D et si elle est en F alors le mouvement peut continuer à l’identique et la baguette peut faire autant de tour qu’on le souhaite . Si elle est ailleurs en un point E alors l’extrémité f a aussi parcouru ( globalement ) un arc FE dans le sens direct . Dans cette situation et en continuant la chronologie f va aussi parcourir ( globalement ) un tour dans le sens direct .

Domi   

Domi

Il manquait un argument dans le raisonnement précédent . Quand f aura aussi effectué son tour d aura parcouru ( toujours globalement ) un bout de chemin dans le sens direct . Il suffit alors de laisser la baguette continuer son chemin de la même façon pour les tours s’enchaînent dans le sens positif pour l’une et l’autre des extrémités .  

Domi

verdurin

Bonsoir,

en ce qui concerne la question 5) ter et le cas du carré : on peut éviter des points de l'intérieur en faisant tourner la baguette

 mais on peut aussi, en commençant avec la baguette sur un coté, lui faire balayer le carré en allant au coté opposé puis lui faire faire le tour.

Je crois que la réponse à 5-ter est oui pour les polygones convexes.

Par contre c'est non en général : la plus grande baguette pouvant faire le tour de ce polygone

ne peut pas en recouvrir l'intérieur.

plsryef

Je pense qu'il faut rajouter la question:

7)quelle est la taille de la baguette la plus grande qui parcourt le périmètre avec une extrémité ?

7 bis) quelle est la taille de la baguette la plus grande qui parcourt le périmètre avec ses deux extrémités ?

la plus petite hauteur est un minorant de cette taille, mais dans le cas qu'a donné @verdurin on peut prendre un baguette plus grande.

Domi

Bonjour @Verdurin qui est un peu à l'origine de ce fil 

Il faut en effet se méfier des trajectoires de la baguette qui peuvent être multiples notamment avec des glissements le long de deux côtés parallèles .

J'avais personnellement évacué les problèmes de taille de baguettes car elles dépendent de trop de paramètres . Le problème peut se poser dans certains cas particuliers mais il ne l'est pas ( à mon avis ) dans le cadre général .

Domi

plsryef

Je pose la question c'est laquelle entre la bleue et la rouge la plus grande baguette qui parcourt tout le périmètre ?

pour ce cas j'ai 'impression que la rouge parcourt tout le périmètre et recouvre tous les points intérieurs du polygone.

Dom

Si les deux le font (ce qui me semble être le cas) alors c’est bien la rouge. 

Domi

Les extrémités de la baguette rouge recouvrent bien la frontière mais je ne suis pas sûr que sa taille soit maximale . La longueur 2 et même un peu plus semble convenir . Ce qui n'empêche pas à la baguette de balayer l'intérieur du quadrilatère .
Domi

verdurin

De toutes façons je me suis trompé.

Domi

C'est l'occasion de voir à quel point la recherche de la taille maximale de la baguette peut être délicate même dans le cas d'un quadrilatère , ici c'est $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ .

Domi

plsryef

@Domi Mais c'est  ce cas là qui t'as  fait penser à l'histoire de va et vient ? Et la possibilité d'un point confiné un point est confiné sur une partie du polygone ? Donc si ça existe c'est pour plus de coté, cette longueur maximale pour que les deux points puisent parcourir l'ensemble du polygone "globalement" dans le même sens semble être un seuil... ? Tu as déjà la réponse ?

Domi

Non cette figure ne m'a pas inspiré plus que d'autres , pour moi beaucoup de questions restent très largement ouvertes sauf peut-être la 6°) .
En ce moment je suis plutôt sur la 3°) et (sans rapport ) je m'interroge sur la question 2°) qui apparait mystérieusement en bleu ?   
Domi

pappus

Bonjour à tous

Le cas de l'ellipse m'intéresse!

Sait-on donc ce qui se passe pour une baguette coulissant dans une ellipse?

Amicalement

pappus

plsryef

Pour une ellipse, su le schéma de centre D et de foyer B, il semble que la taille maximale de la baguette pour que les deux extrémités parcourent globalement l'ellipse dans le même sens, il s'agit du rayon du cercle de centre M (sommet de l'ellipse du petit axe) tangent intérieurement à l'ellipse, N est est le "projeté orthogonal" du foyer sur l'ellipse

pour une distance inférieure à cette distance cela donne:

pour une distance légèrement inférieure à cette distance cela donne: mais c'est faux

pour une distance légèrement supérieure à cette distance cela donne:

ce qui n'interdit pas que la baguette parcourt l'ellipse avec les extrémités confinées sur des partie de l'ellipse

pour un ellipse d'exentricité très faible, la distance est le diamètre du cercle semble être la limite mais je ne sais pas si en restant confiné sur une zone le parcourt soit total, je ne sais pas.

pappus

Merci plsryef pour tes belles animations mais je reste un peu sur ma faim avec tes conjectures.

Amicalement

pappus

plsryef

Avec les moyens que j'ai, si ce que j'ai écrit est juste, ça va me demander 1/ 2 pages de calculs... c'est un problème ouvert sauf si la réponse est déjà écrite quelque part. Je pense que je n'ai pas le bon point de vue. Toujours est-il lorsque je regarde le lieu du milieu de la baguette,  un point double apparaît sur le lieu lorsque la dépasse MN, donc il y a un point critique quelque part... mais ce ne sont que des conjectures.

Domi

Bonjour @pappus
Pas d'objection pour cette proposition mais comme le fil a déjà tendance à s'effilocher , il serait bon pour chacun de formuler complètement la question avec un numéro 7°) . J'étais plus intéressé par l'aspect polygonal donc plus discret du problème mais à chacun ses goûts 
Domi

Domi

Pour le problème de @pappus , sauf erreur , dans une direction donnée la longueur maximale entre deux points de l'ellipse est réalisée quand le milieu de ces points est le centre de l'ellipse . On cherche donc $x^2+y^2$ minimal pour $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ .
La taille de la plus grande baguette serait donc égale au petit axe ce qui ne parait pas idiot .
Domi  

Domi

Je réveille ce problème avec une partie de réponse à la question 6°) et une nouvelle question
6°) Voici un pentagone non convexe dont la plus grande baguette peut faire le tour sans jamais sortir du polygone


Et j'ajoute une question 7°)

7°) Il est clair que les extrémités d'une petite baguette peuvent parcourir l'ensemble du périmètre et que celles d'une grande ne pourront plus le faire . Entre ces deux extrémités , toute baguette de taille intermédiaire convient-elle ?

Domi

depasse

Bonsoir,
pour le problème de @pappus, je dirais que toute longueur de baguette strictement inférieure à celle du petit axe convient et que toute autre disconvient. Et donc, il n'existe pas de baguette convenable de longueur maximale. Par ailleurs, toute baguette convenable ne touche jamais le centre.
Bien à tous
Paul

Domi

@Paul , j'aimerais bien que tu m'expliques pourquoi la baguette de la taille du petit axe ne convient pas .
Domi

verdurin

@Domi :

Domi

Si tu fais glisser légèrement la baguette CD vers la droite en gardant C sur l'ellipse , D descend , on peut donc le rattacher à l'ellipse par une rotation autour de C .
Domi

plsryef

J'ai cette animation, et j'avoue que c'est compliqué d'avoir l'animation avec une seule baguette de longueur le petit axe, (à un moment les deux baguettes se confondent, et le milieu de la baguette (ici les deux) est marqué en rouge, et fait un S, donc point d'inflexion, au lieu de boucler sur la courbe fermée qui ressemble à une ellipse),edit enfait qui fait un 3 plutôt, la fonction "intersection" est capricieuse là.d'ailleurs est ce que le lieu des milieux de la baguette est la réunion de deux ellipses, c'est une autre question.

Domi

Oui , en fait ça coince ponctuellement sur le petit axe , c'est entre autres pour cette raison que je m'étais limité aux polygones . De toutes façons , il y a déjà tellement à dire avec ceux-ci ...
Domi

Ludwig

C'est à cause de la numérotation des intersections, qui est liée à l'orientation du plan. Si tu veux une seule baguette : admettons que les axes de ton ellipse soient $Ox$ et $Oy$ et que ton point tournant est $M$ alors la bonne intersection peut s'obtenir avec la commande Intersection( cercle, ellipse, si(y(M)>0,1,2)).

depasse

Domi a dit :

@Paul , j'aimerais bien que tu m'expliques pourquoi la baguette de la taille du petit axe ne convient pas .
Domi

Bonne question!
Je n'ai plus la réponse et je pense qu'elle était donc fausse

Domi

En fait je ne sais pas trop ,une baguette de la taille du petit axe se retrouvera à un moment donné confondue avec lui . Il est certain qu'on ne peut pas s'extraire de cette position par rotation ou translation . Une autre manipulation est-elle envisageable ?

Domi   

depasse

@pappus va nous aider!

plsryef

Il y a un problème de courbure lorsque la baguette est de la taille du petit axe, en fait ça ne fonctionnera pas sur toutes les ellipses mais plutôt  sur les ellipses très aplaties peut-être (ou le contraire) là je ne sais plus...

gerard0

Bonjour Domi.

"une baguette de la taille du petit axe se retrouvera à un moment donné confondue avec lui . Il est certain qu'on ne peut pas s'extraire de cette position par rotation ou translation". Si on ne peut s'extraire, c'est qu'on ne peut y arriver (sinon le mouvement reproduit à l'envers l'en extrait). Pourquoi ne peut-on y arriver ?

Cordialement.

NB : Si on peut y arriver, on pourra par symétrie le continuer.

Domi

Bien sûr , je me plaçais dans l'hypothèse où on commençait avec une baguette verticale et on cherchait à amorcer son mouvement . En bref la baguette est-elle bloquée dans cette position verticale ?
Domi

gerard0

Donc la question se résout en se demandant si, d'une position autre, on peut arriver à la verticale. Comme je ne vois pas de raison de ne pas y arriver (en redressant progressivement, éventuellement de façon symétrique par rapport au centre), je ne vois pas de raison de ne pas pouvoir repartir à l'envers.

Cordialement.

gerard0

Plus mathématiquement, soit $f : [0,1]\to E$ une application continue sur l'ellipse $E$ telle que $f(1)$ est une extrémité du petit axe. Pour $x$ proche de 1, le cercle de centre $f(x)$ coupe l'ellipse en deux points dont l'un n'est pas du même côté du petit axe que $f(x)$, je note ce point $g(x)$. La fonction $g$, définie sur un voisinage $[a,1]$ de 1 n'est elle pas continue et de limite 1 en 1 ?

NB : depuis le début de ce fil, j'ai vu beaucoup d'affirmations sans preuve.

Domi

C'est aussi ce que j'ai pensé à priori mais les questions qui allaient toutes dans le même sens ont fini par me faire douter 
Domi

plsryef

Une animation (qui ne vaut pas comme démonstration ou autre, juste pour réfléchir) avec une baguette la longueur du petit axe de l'ellipse, ce qui me fait douter c'est le "saut de baguette"

un analogue "à moitié discret" avec des polygones (ici le losange)

lorsque la baguette est dans cette positions peut-elle se mouvoir ? , non ne serait-ce pas un blocage de même nature dans le cas de l'ellipse ?

 Il se pourrait que dans le cas de l'ellipse toute baguette strictement inférieure à la longueur du petit axe puisse parcourir l'ellipse,  comme le dit @depasse

gerard0

Le "saut de baguette" est dû à l'animation. Et aux approximations (un bout de la baguette semble même rester au sommet alors que l'autre se sépare nettement du point bas !). Le cas du losange n'explique rien, il n'y a pas d'angle au sommet de l'ellipse.

J'ai regardé rapidement le calcul dont je parlais, mais sans trouver de méthode efficace.

Cordialement.

plsryef

je sais que l'animation ne prouve rien, mais déjà faire une animation, c'est pas évident, (Géogébra ne donne pas des intersections même avec des arcs d'ellipses ou l'intersection avec un cercle est unique... je ne comprends toujours pas la fonction intersection qui en cliquant fonctionne... mais lorsque l'on définit ne fonctionne pas quelque chose m'échappe, d'ailleurs en tentant de paramétrer par arcs, j'ai vu que je n'y arrivais pas sans que ça constitue une preuve) le losange je l'ai mentionné pour avoir un analogue plus visuel, je me pose seulement la question si ce n'est pas le même type d'obstruction. (d'ailleurs en envoyant loin les sommets Ouest et Est du losange l'obstruction se maintient sauf à l'infini, la baguette en position verticale semble être une point isolé dans le parcours de la baguette, soit on ne l'atteint jamais, soit à partir de là on ne peut en sortir).

Dom

Peut-être qu’il faudrait exprimer les coordonnées d’une extrémités de la baguette en fonction de l’autre. Si cette fonction est continue, est-ce que cela démontrerait quelque chose ?

Domi

Il me semble que dans les problèmes un peu pointus il faut laisser tomber les logiciels et revenir aux bases ( ne pas laisser Géogébra penser à notre place  ) .
Domi

plsryef

En fait on y arrive, mais si une extrémité de la baguette va dans un sens, l'autre extrémité va dans l'autre sens,

et j'ai trouvé 4 paramétrages continus  possibles pour faire ça, en voilà un:

donc il y a au moins 4 paramétrisations continues qui peuvent faire le tour.

Domi

Jolie animation , on va pouvoir revenir aux polygones .
Domi