Image d'une composante connexe par une fonction continue

Fawzi06

Bonjour 
je lis la correction d'un exercice qui dit que par une fonction continue(seule hypothese) , on a f(C(x)) = C(f(x)) . ou C(z) est la composante connexe contenant z 
pour moi y a juste inclusion f(C(x)) inclus dans C(f(x)) qui peut etre stricte.
y a t il un résultat de topologie qui garantit l'inclusion inverse ?
merci d'avance

Cyrano

Il te faut montrer que $f(C(x))$ est une composante connexe de l'espace d'arrivée, i.e. un connexe maximal pour l'inclusion. Si tu montres ça alors comme tout connexe est inclus dans une unique composante connexe, $C(f(x))$ ne peut être inclus que dans $f(C(x))$ (ils ont un point en commun). 

Fawzi06

Cyrano a dit :

Il te faut montrer que $f(C(x))$ est une composante connexe de l'espace d'arrivée, i.e. un connexe maximal pour l'inclusion. Si tu montres ça alors comme tout connexe est inclus dans une unique composante connexe, $C(f(x))$ ne peut être inclus que dans $f(C(x))$ (ils ont un point en commun). 

oui merci, mais pour le montrer il faut une hypothèse supplémentaire de surjectivité non ?
si y dans C(f(x)) qui n'a pas d'antécédents par f , alors l'inclusion est stricte, je viens de penser a la fonction constante comme exemple

Cyrano

Tu as raison, j'ai lu trop vite, j'ai cru qu'on parlait d'un homéomorphisme.
Bien sûr avec une simple application continue, ça ne fonctionne pas. 

Fawzi06

merci beaucoup , ca me conforte 

raoul.S

Si $f$ est un homéomorphisme c'est bon, comme déjà dit. Par contre si $f$ est seulement surjective c'est faux.
Par exemple si $X$ est un ensemble à au moins deux éléments, l'identité $id: (X, \mathcal{T}_1)\to (X,\mathcal{T}_2)$, où $\mathcal{T}_1$ est la topologie discrète et  $\mathcal{T}_2$ la topologie grossière, ne vérifie pas ton égalité. En effet pour tout $x\in X$, $id(C(x))=\{x\}$ et $C(id(x))=X$.

Fawzi06

raoul.S a dit :

Si $f$ est un homéomorphisme c'est bon, comme déjà dit. Par contre si $f$ est seulement surjective c'est faux.
Par exemple si $X$ est un ensemble à au moins deux éléments, l'identité $id: (X, \mathcal{T}_1)\to (X,\mathcal{T}_2)$, où $\mathcal{T}_1$ est la topologie discrète et  $\mathcal{T}_2$ la topologie grossière, ne vérifie pas ton égalité. En effet pour tout $x\in X$, $id(C(x))=\{x\}$ et $C(id(x))=X$.

ah merci pour la précision, l'injectivité est aussi requise , merci  

NicoLeProf

J'essaie de le prouver tiens : soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques et $f : X \rightarrow Y$ un homéomorphisme.

Alors pour tout $x \in X$, on a : $f(C(x))=C(f(x))$ où je note pour $x \in X$, $C(x)$ : la composante connexe de $x$ (i.e la plus grande partie connexe de $X$ contenant $x$ qui est aussi la réunion de toutes les parties connexes de $X$ contenant $x$).

Preuve : Soit $x \in X$.

Montrons d'abord que : "$\underline{f(C(x)) \subseteq C(f(x))}$". 

$f(C(x))$ est un connexe de $Y$ puisque $f : X \rightarrow Y$ est continue (et l'image d'un connexe par une application continue est un connexe).

De plus, $f(C(x))$ contient $f(x)$ puisque $C(x)$ contient $x$.

Donc, comme $C(f(x))$ est le plus grand connexe de $Y$ contenant $f(x)$, on a l'inclusion : $f(C(x)) \subseteq C(f(x))$.

Montrons maintenant l'inclusion réciproque soit : "$\underline{C(f(x)) \subseteq f(C(x))}$". 

Soit $y \in C(f(x))$. Alors, il existe un connexe de $Y$ noté $V$ contenant $f(x)$ et $y$.

Or, $f$ est bijective de bijection réciproque $f^{-1}$ et $f^{-1}$ est continue (puisque $f$ est un homéomorphisme). Dès lors, $f^{-1}(V)$ est un connexe de $X$ contenant $x$ et $f^{-1}(y)$.

Ainsi, par définition de $C(x)$, $f^{-1}(V) \subset C(x)$.

Dès lors, comme $f^{-1}(y) \in f^{-1}(V)$, $f^{-1}(y) \in C(x)$ donc $y \in f(C(x))$.

Ce qui conclut l'inclusion réciproque.

Par double inclusion, on a bien l'égalité souhaitée et je pense que mon raisonnement est bon !

raoul.S

Oui il est bon. Mais pour l'inclusion réciproque tu peux faire un peu comme pour l'inclusion directe, c'est plus rapide : $f^{-1}$ étant continue, $f^{-1}(C(f(x)))$ est un connexe qui contient $x$, donc $f^{-1}(C(f(x)))\subset C(x)$, donc $C(f(x))\subset f(C(x))$.

PS : ce fil devrait être dans topologie...

NicoLeProf

Ah oui bien sûr, je peux améliorer l'efficacité de ma preuve, merci beaucoup raoul.S !!!

gebrane

Réciproquement si j'ai une fonction f injective  qui vérifie pour tout x, f(C(x)) = C(f(x)), que t-on dire de f ?

NicoLeProf

Spontanément, je dirais que $f$ est un homéomorphisme. Mais j'y réfléchirai sérieusement en fin d'après-midi ou ce soir quand je serai de retour ! ^^'

NicoLeProf

Pour ton exo @gebrane, je sais seulement que pour $x \in X$ ($X$ : espace topologique de départ de $f$) fixé, $f : C(x) \rightarrow C(f(x))$ est une application bijective.

Je ne vois pas trop comment établir la continuité de $f$, il manquerait par exemple que $X$ soit localement connexe.

gebrane

La continuité n'est pas garantie, la question est mal posée ; je vais réfléchir à comment je pourrais l'améliorer.

raoul.S

Même avec la continuité comme hypothèse supplémentaire ça ne garanti pas que $f$ soit un homéo. Par exemple si $X:=\{0,1\}$ avec $\mathcal{T}_1:=\{\{0\},\{0,1\}\}$ et $\mathcal{T}_2$ la topologie grossière, alors l'identité $id: (X, \mathcal{T}_1)\to (X,\mathcal{T}_2)$ est continue et vérifie $id(C(x)) = C(id(x))$ (il n'y a qu'une composante connexe, c'est $X$) mais n'est pas un homéo.