Espace uniforme et filtre de Cauchy

Aphrepe

Bonjour.

Voici tout d’abord un peu de contexte. Je m’excuse pour le manque de LateX, je n’ai pas encore appris ce langage.

Définitions :
Une famille filtrée est une famille (x_i, I) muni d’une base de filtre B sur l’ensemble d’indexation I.
Une famille filtrée (y_j, J, C) est plus fine que (x_i, I, B ) lorsque y(C) est plus fine que x(B), autrement dit pour tout M dans B, il existe N dans C tel que y(N) est contenu dans x(M).  
On appelle convergence une relation entre les filtres sur un ensemble X et les éléments de X vérifiant les axiomes suivants :
(1) Toute famille filtrée constante converge vers sa valeur commune
(2) Toute famille filtré plus fine qu’une famille filtré convergeant vers a est elle-même convergente vers a

On remarque une chose. en définissant qu’une partie F est fermée lorsque une famille filtrée de F converge vers a implique que a est dans F, les fermées forment une topologie. Mais ce n’est pas la bonne topologie (vous comprendrez rapidement pourquoi). On souhaite une topologie pour laquelle l’adhérente d’une partie A est l’ensemble des points a pour lesquels il existe une famille filtrée de A convergeant vers a. Pour cela, on va ajouter l’axiome suivants :
(3) Pour tout famille filtrée (x_i, I, B ) convergeant vers x et toute famille (x_ij, J, B_i ) convergeant vers x_i, on peut extraire de l’ensemble des x_ij une famille filtrée convergeant vers x.

Maintenant l’adhérence de l’adhérence d’une partie A est l’adhérence d’une partie A, ce qu’il manquait pour que l’adhérence définissent une topologie. Mais une famille dans cette topologie on a seulement l’implication : Une famille filtrée convergent axiomatiquement vers a implique qu’elle converge au sens usuel vers a c’est à dire, être plus fin que le filtre des voisinages de a pour cette topologie. Pour avoir la réciproque, il manque l’axiome suivant:
(4) Si toute famille filtrée y plus fine que qu’une famille x, il existe une famille z convergeant vers a plus fine que y alors x converge vers a. (La réciproque étant une conséquence de 1)
Par ailleurs la convergence usuel d’une famille filtrée suivant n’importe quelle topologie vérifie ces 4 axiomes.

Je cherche une axiomatique sur les filtres de Cauchy pour qu’elle engendre une structure uniforme tel qu’un filtre  soit de Cauchy dans le sens axiomatique si et seulement si il est de Cauchy dans le sens usuel dans les structures uniforme. On peut tenter de définir les entourages comme un ensemble comme suit : 
V est un entourage de X lorsque pour tout filtre de Cauchy (xi I, B ), il existe un M dans B tel que x(M)*x(M) est contenu dans V (produit cartésien). Mais malheureusement c’est comme la première topologie qu’on a tenté de définir au dessus. En effet, un voisinage V de x dans la 1e topologie est un ensemble vérifiant toute famille (x_i, I, B ) convergent vers x, il existe un M dans B tel que x(M) soit contenu dans V.

Si vous avez besoin de précision, ou de démonstrations n’hésitez pas à me le demander, je vous remercie pour cette longue lecture et pour vos futures réponses.

Aphrepe

En fait je crois que ce n’est pas possible car on a pas l’équivalence (en tout cas la réciproque) entre "f est uniformément continue" et "Tout filtre de Cauchy a pour image par f un filtre de Cauchy ou en tout cas je n’arrive pas à le montrer (là comme ça je n’ai pas de contre-exemple). Cependant, comme je l’ai dit, on peut tenter de définir une structure uniforme par "V est un entourage de X lorsque pour tout filtre de Cauchy (xi I, B ), il existe un M dans B tel que x(M)*x(M) est contenu dans V (produit cartésien)." de sorte qu’on a l’implication de "(x_i, I, B ) est de Cauchy au sens axiomatique" vers "(x_i, I, B ) est de Cauchy pour la structure uniforme ci-dessus. Mais il me manque des axiomes (en tout cas un axiome qui ressemble au (3)) pour vérifier la condition manquante : "Pour tout entourage V, il existe un entourage W tel que WW est contenu dans V," où WW désigne la composition de graphe de W par W. 

stfj

Bonjour, pour le latex ($LaTeX$), il suffit de mettre entre dollars le texte que tu veux latexifier. Une bonne façon d'apprendre est de passer sur des textes latexifiés par d'autres et de copier/coller : "Une famille filtrée est une famille $(x_i, I)$ muni d’une base de filtre $B$ sur l’ensemble d’indexation $I$". Voici en lien un article wikipedia peut-être utile. Cordialement.

raoul.S

Aphrepe a dit :

En fait je crois que ce n’est pas possible car on a pas l’équivalence (en tout cas la réciproque) entre "f est uniformément continue" et "Tout filtre de Cauchy a pour image par f un filtre de Cauchy ou en tout cas je n’arrive pas à le montrer (là comme ça je n’ai pas de contre-exemple).

Dans le cas de $\R$, la fonction $f:\R\to \R, x\mapsto \sin(x^2)$ envoie les filtres de Cauchy sur les filtres de Cauchy (car un filtre de Cauchy dans $\R$ converge et $f$ est continue) mais $f$ n'est pas uniformément continue (voir son graphe lorsque $x\to \infty$).