$t^5-7=x^2+y^2 \;?$

uvdose

Je soumets à votre sagacité cette énigme que je viens de fabriquer (par hasard, en travaillant sur autre chose), dont je ne parviens pas à évaluer le niveau de difficulté. Je précise qu'elle se résout avec des outils élémentaires.

Montrer que $t^5-7$ est somme de deux carrés parfaits pour une infinité de valeurs de l'entier $t$.

etanche

$t=2$ et $t^5-7=25$ c’est une somme de deux carrés.

Sinon une idée trouver $t=f(k)$ polynomial avec $k$ entier tel $t^5-7$ est une somme de deux carrés
un peu comme https://artofproblemsolving.com/community/c6h2215808p16809256

On peut essayer $f(k)$ polynôme de degré deux en $k$ à coefficients entiers.

uvdose

@etanche : tire sur le fil, la solution est au bout !

etanche

$t=2k^2+4$ 

uvdose

$(2\times6^2+4)^5-7=3^3\times13\times7223719$ n'est pas somme de deux carrés...

etanche

Zut j’avais pas essayé jusqu’à k=6. Je laisse aux autres de trouver.
Niveau: difficile, je le verrai bien en exos entraînement maths olympique. 

depasse

Bonjour,
sans certitude aucune, je pencherais pour
$t=5k^2+P_1; x=50k^5+Q_4;y=25k^5+R_4$ où $P_1,Q_4,R_4$ sont des polynômes en $k$ de degrés $1,4,4$ au plus.
@uvdose: nous donnerais-tu les plus petites solutions?
Cordialement
Paul

uvdose

@depasse : merci pour ta participation ! J'ai découvert l'identité polynomiale qui résout le problème un peu par hasard et je ne sais pas du tout si elle est "optimale". Quant à ton idée, je ne sais pas si elle peut aboutir.

etanche

@ uvdose si ton identité polynomiale est nouvelle, tu peux demander à Tito Piezas de l’ajouter sur son site
Collection of algebraic identities 
https://web.archive.org/web/20230326021830/http://sites.google.com/site/tpiezas/

uvdose

L'identité en question : 
$$(2x^4+38x^2+181)^2+(x^5+18x^3+82x)^2-(x^2+8)^5=-7$$
Je me demande s'il s'agit de "l'ombre" d'une identité polynomiale plus générale, avec plusieurs indéterminées ?
Je l'ai trouvée en tâtonnant et me servant de programmes assez moches avec des boucles imbriquées...

J'étais en train de m'intéresser à la question (ouverte ?) suivante : quels sont les entiers relatifs $n$ qui peuvent s'écrire sous la forme :

$n=a^2+b^2+c^5$

où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers relatifs. Ce sujet est évoqué dans cet article. 

Il y a aussi la question, qui n'est a priori pas tout à fait la même, de savoir quels sont les entiers qui, comme $-7$, peuvent s'écrire sous la forme $P^2+Q^2+R^5$, où $P$, $Q$ et $R$ sont des polynômes non constants à coefficients entiers ; je n'en ai pas trouvé d'autres que ceux-là :

$1$, $2u^2$ ($u\in\N$), $-768$ et $324$,

 (et tous les entiers obtenus en multipliant les précédents par $k^{10}$, $k\in\Z$).

$$(2x^4-2x^2+1)^2+(x^5-2x^3+2x)^2+(-x^2)^5=1$$

$$(4x^5-u)^2+(4x^5+u)^2+(-2x^2)^5=2u^2$$

$$(2x^4+8x^2+16)^2+(x^5+8x^3+32x)^2-(x^2+4)^5=-768$$

$$(3x^4-18x^2+9)^2+(x^5-12x^3+27x)^2-(x^2-3)^5=324$$
Edit : il y a en fait d'autres identités (!), voir cette discussion sur MSE.

etanche

@uvdose Chapeau bas, je ne vois pas comment on peut arriver à trouver ces identités. 

Une discussion un peu du même genre 
https://math.stackexchange.com/questions/174240/integers-of-the-form-a2b2c3d3/174363#174363

Dans AMM problème 10426 de N.Elkies et I.Kaplansky page 594, june july 1997 c’est sur $n=x^2+y^2+z^3$ *

dans la solution, les auteurs signalent que $n=x^2+y^3+z^3$ est ouvert ( je ne sais pas si ça avancer depuis 1997). 

* est aussi dans traité là https://artofproblemsolving.com/community/c146h150903

etanche

Pour AMM problème 10426 de N.Elkies et I.Kaplansky page 594, june july 1997 c’est sur 𝑛=𝑥2+𝑦2+𝑧3n=x2+y2+z3 

http://zakuski.utsa.edu/~jagy/Elkies_Kap.pdf

uvdose

etanche a dit :

Dans AMM problème 10426 de N.Elkies et I.Kaplansky page 594, june july 1997 c’est sur $n=x^2+y^2+z^3$ dans la solution, les auteurs signalent que $n=x^2+y^3+z^3$ est ouvert ( je ne sais pas si ça avancer depuis 1997). 

Je n'ai pas l'impression que des progrès aient été faits. J'ai posé récemment la question sur MSE.

En passant, une question s'inscrivant dans le même paysage : le problème (ouvert) des quatre cubes (il y a aussi le problème, évidemment encore plus difficile, des trois cubes). Dans cet article l'auteur prouve (de façon élémentaire) qu'il existe une infinité* d'entiers $n$ qui s'écrivent sous la forme $n=P^3+Q^3+R^3+S^3$, où $P$, $Q$, $R$ et $S$ sont des polynômes non constants à coefficients entiers.

----------
(*) Lorsque $n$ est décomposable, on ne compte pas les $nk^3$ qui sont évidemment aussi décomposables.

uvdose

Sinon, un exercice classique :

Montrer que tout entier peut s'écrire comme la somme de $5$ cubes d'entiers relatifs. 

depasse

@uvdose Chapeau bas à mon tour!
Une identité plus générale s'obtient en remplaçant tes $x^2$ par $x$ car tes trois polynômes sont en $x^2$.
Sauf erreur!
Merci aussi @etanche pour toutes tes jolies références.
Amicalement
Paul

uvdose

@depasse Il y a aussi des termes en $x$, $x^3$ et $x^5$.

Médiat_Suprème

Ce que, vraisemblablement, veut dire @depasse , c'est qu'en sortant le $x$ du carré, il n'y a plus que du $(x^2)^k$, mais on perd la forme initiale, ce qui n'est pas grave au seul niveau de l'identité.

depasse

Merci @Médiat_Suprème: je le prends pour avocat!
En effet, après avoir lu la belle identité de @uvdose, je me suis dit qu'on pourrait chercher les $(P_1,Q_2,R_2)$ de degrés $1,2,2$ tels que
$P_1^5-7=Q_2^2+xR_2^2$. @uvdose exhibe un tel triplet; en existe-t-il d'autres?

uvdose

D'accord, je comprends. En faisant tourner mes programmes (moches !) à boucles imbriquées, il ne me semble pas avoir croisé d'autres $(P_1,Q_2,R_2)$ qui marchent. Mais pour que mon ordi ne calcule pas jusqu'à la fin août, je me suis beaucoup limité au niveau de la taille des coefficients !

Remarque en passant : si $(P_1,Q_2,R_2)$ est solution, $(P_1(k^2x),Q_2(k^2x),kR_2(k^2x))$ $(k\in\Z)$ l'est aussi.