La démonstration est que 1 est égal à une forme indéterminée.

octobre

Bonjour à toutes et à tous,

On peut démontrer de manière rigoureuse en théorie des nombres et en algèbre que $0^0 = 1$, mais cette démonstration n'est pas valable en théorie d'analyse, où l'on peut démontrer que $0^0$ =une forme indéterminée.

Vous pouvez voir ce lien pour plus de details sur cette affirmation:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro_puissance_zéro

C'est une forme d'incohérence en mathématiques, où les mathématiciens ferment les yeux, ou le même objet mathématique peut avoir différentes valeurs dans plusieurs théories mathématiques qui sont liés et utlisent parfois les mêmes objets mathématiques.

En clair, plus de deux théories mathématiques qui sont liées se contredisent avec des démonstrations contradictoires l'un donne une valeur $ 1$ a $0^0 $et l'autre dit que $0^0 $ est une forme indéterminée , et cette incohérence mathématique peut même mener à une contradiction telle que $1=0  $ou d'une manière géneral que $1=$une forme indéterminée  puisque $0^0=0^0=1=$une forme indéterminée.

JLapin

Pas de contradiction. Simplement, un choix de notation douteux du côté de l'analyse ou des trolleurs pour désigner sous le titre "forme indéterminée" l'écriture $0^0$ qui en fait est parfaitement déterminé et vaut $1$.

D'ailleurs, quand j'étais petit, il n'y avait pas cette forme indéterminée. Il n'y avait que $0/0$, $0\times \infty$, $\infty- \infty$ et $\infty/\infty$.

Au moins, ces écritures ne sont pas sujettes à confusion, encore que $0\times \infty$ vaut $0$ quand on calcule dans $[0,+\infty]$ mais les trolleurs foutent la paix à ce "paradoxe", fort heureusement.

Rescassol

Bonsoir,

Tu n'as rien d'autre à faire que de réveiller ce marronnier ?
Don't feed the troll !

Cordialement,
Rescassol

octobre

@JLapin bah je suis d'accord avec toi si nous somme en algbère ou en théorie de nombre 0^0=1, mais en analyse bah désolé il peut être égal 1 ou 0 ou diverger ou même pas exister voici un exemple $0^0=\lim_{t \to 0} t^t=1$ et $0^0= \lim_{t \to 0} \left(\exp\left(-\frac{1}{t^2}\right)\right)^t=0$

En plus a votre avis pourquoi en dit pas que 0/0 par convention c'est  aussi 1, il y a une grande différence entre 0^0 et 0/0 , car 0^0 est par démonstration dans la théorie de nombre et algèbre vaut 1, mais en analyse il est une forme indéterminé...

JLapin

Ton exemple n'existe que dans ta tête. Aucun mathématicien sérieux n'écrit ce genre de chose. Relis un cours d'analyse du lycée.

octobre

a bon donc $0^0=\lim_{t \to 0} \left(\exp\left(-\frac{1}{t^2}\right)\right)^t=1$ tu es sur?

JLapin

Ta limite vaut $0$ et pas $1$ et JAMAIS elle n'est notée $0^0$ par des gens sérieux. Tu sembles être un brave gars, je ne t'en veut pas pour ta naïveté touchante.

octobre

Oui c'est ce que j'ai dis mais vous vous avez dit que non il vaut 1 , bah wikipidia il est vérifier par des mathématiciens plus  sérieux que moi et peut être toi aussi, ils disent que 0^0 en analyse est une forme indéterminée mais en théorie d'algèbre et théorie de nombre vaut 1.

Voici le passage : Zéro à la puissance zéro, noté 0^0, est une expression mathématique qui n'a pas de valeur évidente. Il n'existe pas de consensus quant à la meilleure approche : définir l'expression (en lui donnant la valeur 1) ou la laisser non définie. Plusieurs justifications existent pour chacune des possibilités, et celles-ci sont décrites dans cet article. En algèbre et en théorie des ensembles, il est généralement convenu que la réponse est 0^0 = 1, alors qu'en analyse, l'expression n'est généralement pas définie.

JLapin

octobre a dit :

Oui c'est ce que j'ai dis mais vous vous avez dit que non il vaut 1

Je n'ai rien dit de tel.

Quand à l'article wikipedia, apparemment, les analystes ne sauraient pas évaluer en $0$ la fonction polynomiale  $$x\mapsto \sum_{k=0}^{10} x^k$$

C'est du grand n'importe quoi et cela provoque de la confusion mentale chez certains faibles d'esprit.

octobre

Je ne vois pas une tel sommation dans l'article wikipidia qui s'arêtte a 10, ils disent tout simplement qu'il y a beaucoups de preuves en théorie de nombre et algèbre que 0^0=1, par contre en analyse on peut démontrer que 0^0=une forme indéterminée,  et puisque il s'agit du même objet  on peux déduire que 0^0=1= une forme indéterminée aussi

gerard0

Octobre, 

tu ne sais pas ce qu'est une forme indéterminée ! Manifestement, puisque tu la traites comme un nombre, ce qu'elle n'est pas.
Une forme indéterminée est une écriture conventionnelle pour se rappeler que le calcul de limite en cause est à faire en fonction de la situation particulière. Donc pas de contradiction avec quoi que ce soit. 

Tu devrais apprendre un peu les maths du lycée. À moins que tu trolles volontairement, ce qui est le plus probable. 

gebrane

Octobre,
crois-tu qu' Il existe un théorème en analyse qui stipule que \[\lim_a \quad u(x)^{v(x)} = (\lim_a u(x))^{(\lim_a v(x))}\] Si c'est le cas, démontre le et alors je serais d'accord avec toi que pour deux fonctions \(u\) et \(v\) qui tendent vers 0, on aura nécessairement \(\lim u(x)^{v(x)} =0^0=1 \)

Dom

Un message pour ceux qui font des maths. 

Je pense qu’il peut être pertinent d’ajouter aux formes indéterminées classiques, la suivante : $1^{\infty}$. Disons, « en parler ».
Éventuellement, mais on peut hélas en ajouter des tas, évoquer aussi : $0^{\infty}$ et $\infty^0$ (les deux sont-elles « indéterminées » ?)
Mais comme l’a dit Gérard, il faut d’abord savoir de quoi on parle quand on utilise l’expression « forme indéterminée ». 

gebrane

Bonjour Dom, pourquoi vois-tu $0^{\infty}$ comme une forme indéterminée, elle  est déterminée

Math Coss

@Dom se demande si elle est indéterminée (ou feint dd se le demander).

Dom

Bonjour, 
peut-être aurais-tu mal lu mon message ?
Cordialement
Dom

gebrane

Oui mal lu

octobre

Dans ma démonstration je me demande tout simplement si 1 est vraiment un nombre,car ici on peux démontrer que 1 est une forme indéterminée puisqu'il égal a 0^0.

gerard0

Mais non, 1 n'est pas une forme indéterminée. Pourquoi continuer à confondre une notation dans une phrase en français avec un calcul ? Arrête de faire l'âne pour avoir du foin. 

octobre

Bah si en algèbre et théorie de nombre il y a beaucoups de preuve que 0^0=1 , puis en analyse on a 0^0=une forme indéterminée  d'ou mon affirmation que 1 n'est pas vraiment un nombre mais en même temps un nombre et une forme indéterminée , mon affirmation n'est pas baser sur du vent mais sur une chose très solide que 0^0=1=une forme indéterminée...

etanche

En 2012 https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/781125#Comment_781125

En 2009 https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/768609#Comment_768609

Un article de Donald Knuth https://arxiv.org/pdf/math/9205211 voir page 4 à 6.

En 2005 https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/129105/que-vaut-0-0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5Ex

Dom

1 est un nombre. 

$0^0$ désigne en général ce nombre. 

$0^0$ peut aussi désigner une forme indéterminée dans un contexte de limites 
Les deux notations sont les mêmes MAIS selon le contexte ça ne désigne absolument pas la même chose. 

octobre

@Dom problème que l'analyse et algèbere et la théorie de nombre sont des théories très liés et utlise les mêmes objets , dans ce cas on ne peux pas dire que 0^0 en algèbere par exemple n'est pas le même que le 0^0 en analyse...

Dom

Il faut comprendre ce que j’écris, mais d’abord il faut LIRE ce que j’écris si l’on souhaite réagir à l’un de mes messages. Il n’est nul question de parler d’Analyse ou d’Algèbre. 

Édit : en algèbre, le symbole « $0$ » désigne déjà plusieurs objets distincts. C’est le contexte qui permet de le savoir. Ne regarder qu’un symbole et épiloguer là-dessus sans fondement n’est pas pertinent. On peut aussi évoquer le symbole « + ». 

octobre

Mais si on souhaite utliser par exemple le même 0 en algèbre et analyse quelle contexte en choisi?
Ici le 0 dans 0/0 ou 0^0 qu'est ce que  change pourquoi vous dite que nous somme pas dans le même contexte ?

Dom

Il faut lire un cours sur les limites, éventuellement poser des questions dessus, puis on pourra parler de « forme indéterminée ». Avant ? Ça ne sert à rien. 

octobre

les formes indeterminée qui sont écrite avec des 0 comme 0/0  en analyse sont aussi les mêmes en algèbre sauf 0^0 pourquoi vous dite que la cause est le changement de contexte, pourquoi ça touche juste 0^0 pas les autres formes indeterminée pourtant en utlise le même symbole le 0 ?

Dom

Non, non, ça touche TOUT. 
La forme indéterminée 0/0 n’a rien à voir avec le nombre zéro réel et d’ailleurs si 0 désigne le zéro réel, 0/0 n’a pas de sens. 

octobre

Pourriez vous donnez un autre exemple en mathématique d'un objet mathématique consitué d'autres objets comme le 0 ,les autres objets reste inchangé et garde la même propriétés mais seul lui change si on change de contexte?

Dom

1)
Dans les réels on a une addition : « + ». 

Soient $a$ et $b$ deux réels, alors $a+b$ désigne un réel. 

Dans l’ensemble des fonctions des réels vers les réels, on a une addition : « + ». 

Soient $f$ et $g$ deux telles fonctions, alors $f+g$ désigne une fonction. 

Les deux symboles « + » ne désignent pas les même choses. 

On a aussi une addition avec les matrices. Ce n’est pas le même « + » même si le symbole utilisé est le même. 

2) 
Soient $f$ et $g$ deux fonctions, des réels vers les réels, qui ne s’annulent pas. 

On suppose que les deux fonctions ont pour limite « 0 » (le réel zéro !) en $+\infty$. 

La fonction $f/g$ est bien définie des réels vers les réels. 

Question : la fonction $f/g$ a-t-elle une limite en $+\infty$ ?
Sais-tu résoudre cette question ?

gerard0

"les formes indeterminée (sic) qui sont écrite avec des 0 comme 0/0  en analyse sont aussi les mêmes en algèbre" Absurdité !! Il n'y a pas de formes indéterminées en algèbre.

Octobre, tu es malade. Toutes tes interventions sur ce forum sont de ce type : Tu prends un sujet de maths élémentaires que tu comprends de travers, puis tu viens demander des "explications". Et tu ne lis pas les réponses, tu y cherches seulement de quoi confirmer ton idée fausse. Ta maladie se soigne bien, mais il faut que tu veuilles la soigner. le médicament : Lire les cours et les explications, réfléchir et comprendre. Pour l'instant, tu es seulement un "mal-comprenant".

octobre

gerard0 selon la science de psychologie tout le monde est un malade psychologique, mais les pires des malades se sont ceux qui traitent les autres qui n'ont pas le point d'avis qu'eux ou n'arrive pas a les comprendre de malade , cette maladie se soigne en ayant une grande ouverture d'esprit, et d'arrêter de s'enerver pour rien, si non tu aura pas juste une maladie psychologique mais une haute tension, et ça sera dommage de ne plus te voir ici

Dom

Une fuite sur les questions maintenant, octobre…
Tu as le droit d’ignorer ma question mais tu peux peut-être me le dire par politesse.  

gebrane

On ne fait qu'alimenter le troll.

octobre

Non mais la imite dépend de la forme de la fonction g et f dans le cas ou f=a et g=b la limite serait a/b et le + ainsi que / dans ce cas serait la même chose.
Donc je ne comprend pas le lien avec 0^0 pourquoi tu pense que l'opèration ^ change ...

Dom

Ok… tu esquives… et tu te trompes… car j’ai dit que les deux fonctions tendent vers $0$ en $+\infty$ donc ton « a/b » n’a pas de sens. Gérard a raison, tu ne veux pas comprendre mais te contenter dans ton ignorance.
Avec les même hypothèses sur $f$ et $g$, la fonction $f^g$ est bien définie. 

Je t’écoute pour la limite de $f^g$ en $+\infty$. 

Oui, gebrane, j’en ai bien peur. 

octobre

Cela dépend aussi de la forme des fonctions f et g, Dans le cas où  f=g=0, nous sommes dans le même cas que l'algèbre et théorie de nombre, mais il n'y a pas unicité du résultat. C'est pourquoi, en analyse, on parle de forme indéterminée : parfois, le résultat est 1, parfois non.

En clair, ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi cette égalité ne serait pas toujours vraie. Au lieu de dire que 1 est un nombre et que cette égalité n'est plus vraie lorsque le calcul de la limite ne donne pas 1, pourquoi ne dit-on pas simplement que 1 n'est plus un nombre ? Cela permettrait de garder l'égalité 0^0=1 est toujours vraie, pour relier les deux théories qui affirment que 0^0=1 en théorie des nombres et en algèbre.

En somme, nous avons deux contextes qui disent que 0^0=1  la théorie des nombres et l'algèbre, mais un seul contexte qui dit que 0^0 est une forme indéterminée. Alors, pourquoi ne pas être créative est redéfinir 1 pour qu'il soit à la fois un nombre et une forme indéterminée, afin de conserver 0^0=1 toujours  vrai, quel que soit le contexte ?

Dom

J’ai dit « des fonctions qui ne s’annulent pas ! ». 

J’ai dit « des fonctions qui tendent chacune vers 0 en $+\infty$ ». 

Cela dit, la réponse est bien $f^g$ n’a pas forcément de limite, et dans le cas où ça a une limite, ça peut être n’importe quel réel donc on dit :
« $0^0$ est une forme indéterminée »
C’est plus court que : 

 « un truc qui tend vers zéro à la puissance un truc qui tend vers zéro n’a pas forcement une limite et de plus ça peut avoir n’importe quel réel comme limite ». 
Ainsi, quand on écrit « $0^0$ est une forme indéterminée », il ne faut pas l’interpréter comme « $1$ est une forme indéterminée », ce serait assez idiot de remplacer $0^0$ par $1$ dans ce contexte. Tu préférerais « $1$ n’est plus un nombre ». C’est très étrange. Ou plutôt, c’est ce que je viens de dire : dans ce contexte « $0^0$ » ne désigne pas un nombre. C’est d’ailleurs l’idée du mot « forme » qui n’a pas de définition précise.  

octobre

Pourquoi avez-vous fait le choix que f et g ne s'annulent pas ? Il faut traiter tous les cas de figure.

Pourquoi étrange ? Après tout, les choses les plus étranges, comme 𝑖^2=−1, sont celles qui ont aidé à développer les mathématiques. Donc, rien d'étrange à redéfinir 1 en disant que c'est à la fois un nombre et une forme indéterminée. Ainsi, dans tous les contextes, 0^0=1  serait toujours vrai. De toute façon, nous avons de bonnes raisons de redéfinir le 1, car deux contextes donnent 0^0=1 la théorie des nombres et l'algèbre, tandis qu'un seul contexte l'analyse considère 0^0 comme une forme indéterminée, qui est parfois aussi égale à 1.

gerard0

Bon, cette fois-ci c'est clair. Octobre ne connaît pas les mathématiques, mais en parle comme s'il était intelligent. Donc il ne l'est pas et ne veut pas agir intelligemment. Comment appelle-t-on quelqu'un qui ne veut pas agir intelligemment ? Quel que soit le mot choisi, c'est triste pour lui ... 

octobre

Ah bon, vous croyez que l'intelligence, c'est tout dans la vie ? Eh bien non. Souvent, les plus intelligents sont les plus malheureux dans la vie, tandis que les plus bêtes sont les plus heureux. Vous pouvez être très intelligent et travailler pour quelqu'un de très bête, à faire des choses stupides, ou être très bête et travailler pour quelqu'un de très intelligent, à faire des choses intelligentes. De plus, la moitié des découvertes scientifiques ne sont pas apparues grâce à l'intelligence, mais aussi à la stupidité. En clair, il vaut mieux être bête et intelligent en même temps pour être un genre de paradoxe dans cette vie 

raoul.S

octobre a dit :

Souvent, les plus intelligents sont les plus malheureux dans la vie...

Les ignorants sont bénis...

Dom

J’ai pris des fonctions particulières : j’ai le droit puisque cela suffit à sortir des exemples où la limite n’existe pas. 

Ha. Intéressant, octobre. 

Quelle situation donne « $1$ » comme forme indéterminée ? As-tu des exemples où je puisse reconnaître cela ? 

JLapin

octobre a dit :

Ah bon, vous croyez que l'intelligence, c'est tout dans la vie ? Eh bien non.  [...]

Quand tes messages ne parlent pas du nombre $1$, ni d'objets mathématiques, ils sont soudainement un peu plus intéressants et pertinents. N'hésite pas à continuer dans cette voie.

Médiat_Suprème

Je ne suis pas sûr que traiter d'imbécile (idiot, non comprenant, sans intelligence, etc.) soit la meilleure façon d'aider quelqu'un qui pose une question qu'il ne comprend pas, à moins d'être soi-même plus intelligent que le reste des humains, ou de simplement le croire (oui, c'est une explication).
De plus, cela donne une image catastrophique de ce site et des mathématiciens (même si je doute que des vrais chercheurs aient ce genre de réaction).
Peut-être faudrait-il expliquer quelle est la définition de $0^0$ (sous toutes ses facettes), que veut dire l'expression "forme indéterminée" et pourquoi elle existe.

gebrane

Oublions les maths Octobre et passons à la littérature, cherche le X et Y dans ce récit 

X conseilla à Y :   "Touche terre en secret . Lorsque tu arriveras chez toi, n'annonce pas immédiatement ton retour. Vois qui t'est resté fidèle et qui a pris avantage de ton absence. Fais-toi connaître en secret à ceux en qui tu peux avoir confiance et prépare soigneusement ta vengeance "
Dom vois-tu le X et Y ?

JLapin

Médiat_Suprème a dit :  
De plus, cela donne une image catastrophique de ce site et des mathématiciens (même si je doute que des vrais chercheurs aient ce genre de réaction).
Peut-être faudrait-il expliquer quelle est la définition de $0^0$ (sous toutes ses facettes), que veut dire l'expression "forme indéterminée" et pourquoi elle existe.

Je n'avais pas l'impression de donner une image catastrophique (les mots sont forts...) de ce site ni de mettre en doute l'intelligence de l'OP avec ma première réponse à la question posée mais en fait, il s'avère très difficile de lutter contre la mauvaise foi appuyée par cette page wikipedia qui affirme froidement "qu'en analyse, l'expression n'est généralement pas définie."

Dom

J’ai quant à moi proposé des contenus sérieux, me semble-t-il.  

La discussion n’est pas sur « $0^0=1$ » d’après ce que j’en ai compris. 

Mais « pourquoi dire que $0^0$ est une forme indéterminée et affirmer $0^0=1$ ». 

Ça ressemble à une confusion entre « expression pas définie » et « forme indéterminée ». Les mots sont synonymes dans le langage courant mais complètement à distinguer dans le cours de mathématique. 

Médiat_Suprème

@JLapin : mon intervention venait juste après la vôtre, mais ne vous visait pas particulièrement, encore que " N'hésite pas à continuer dans cette voie." ne soit pas particulièrement un signe de bienvenue.

zeitnot

Je tente une intervention dans cette discussion...

Un truc qui se rapproche de 0, exposant un machin qui se rapproche de 0, a priori, si on n'entre pas davantage dans le détail ou bien si on n'a pas plus d'information, on ne sait pas dire vers quoi cela se rapproche. On n'appelle cela une forme indéterminée, ça veut dire qu'il faut creuser plus loin sur truc et machin, pour déterminer vers quoi cela tend (si ça tend bien vers quelque chose). Et par abus de langage, on va dire "la forme 0^0 est indéterminée". Quand on dit ça, on ne parle pas de $0^0$ qui vaut 1. On dit juste, truc exposant machin, il faut faire attention je ne peux pas conclure a priori. Dans mon livre de première S quand j'étais élève, il y avait des têtes de morts pour les opérations sur les limites pour lesquelles on ne pouvait pas conclure. On ne disait pas "forme blabla", on parlait juste d'indétermination.

Dom

Ton message étant en plein dans le sujet, il ne devrait pas être lu par l’auteur du fil.