Topologie discrète et connexité

ced57

Bonjour à tous. 

Sauf erreur de ma part, si on munit l’ensemble des nombres réels de la topologie discrète, l’ensemble des nombres réels n’est pas connexe.
Or pour tout réel t de [0;1], et pour tous réels x et y, tx+(1-t)y est un nombre réel…
Ainsi l’ensemble des nombres réels est connexe par arc et donc connexe pour la topologie discrète.
Je me trompe forcément mais je n’arrive pas à voir où.
Est-ce que connexe par arc implique connexe n’est pas valable pour la topologie discrète ?
La connexité est une notion topologique si je ne me trompe pas.
Peut-être qu’il y a quelque chose qui m’échappe concernant la connexité par arc…
Je vous souhaite à tous une belle journée.

GaBuZoMeu

Bonjour,

"Ainsi l’ensemble des nombres réels est connexe par arc"

Non, car ton arc n'est pas continu ( de $[0,1]$ avec la topologie usuelle dans $\mathbb R$ avec la topologie discrète).

Georges Abitbol

Ainsi l’ensemble des nombres réels est connexe par arc et donc connexe pour la topologie discrète.

Est-ce que connexe par arc implique connexe n’est pas valable pour la topologie discrète ?

Eh bien, quel est l'énoncé du théorème que tu pensais invoquer ? Peux-tu nous le donner précisément ? Qu'est-ce qui te fait croire qu'il pourrait "ne pas être valable" dans certains cas ?

ced57

Merci beaucoup pour vos réponses.

Je n’ai pas pensé à regarder aussi la continuité de mon arc. Mais une autre question me vient, si on décide de munir [0;1] de la topologie discrète, est-ce que cette fois-ci l’arc considéré est continu?
Il me semble, si je ne dis pas de bêtises, que si l’espace de départ d’une application est muni de la topologie discrète alors cette application est continue.

Le théorème auquel je fais référence dit que si un espace topologique est connexe par arc alors il est connexe.
J’ai émis l’hypothèse qu’il n’était valable que dans un certain cas suite à l’exemple que je venais de donner.
Je me doutais que c’était faux ce que je disais et qu’il y avait un problème dans mon exemple. C’était donc plutôt une remarque sans conviction que je faisais.

JLapin

Pour la définition de la connexité par arcs, tu n'as pas le choix de la topologie sur $[0,1]$.

gerard0

Effectivement, une application de $[0,1]$ muni de la topologie discrète dans un espace topologique quelconque $X$ est continue (l'image réciproque de tout ouvert de $X$ est une réunion de singletons, d'ouverts, donc est un ouvert). Mais ça n'a rien à voir avec la connexité par arcs, dont la définition parle de l'espace topologique canonique [0,1] (donc avec la topologie de la distance habituelle).

Cordialement.

ced57

Merci beaucoup pour vos réponses. Tout est plus clair maintenant.

GaBuZoMeu

Avec plaisir.