Mise au clair sur la limite à gauche de la dérivée de la fonction generatrice ( question bete ...)

wayana

Je note $g_X$ la série generatrice d une v.a.r.d.
On montre que  $E(X) = g_X'(1-)$ ( livre ouvrage ou escoffier : ok !) 
Mais dans certains exos je vois que l on écrit $E(X) = g_X'(1)$ sans vérifier que R>1 ( or en général R>=1 ...)
Et vu que tout peut se produire au bord du disque ouvert de convergence ....
Est ce qu on se permet de l écrire parce que sans l expliquer on vérifie que $g_X$ est derivable en 1 et donc $g_X(1-)=g_X(1)$ ?? 
Ou bien il y a d autres arguments qui m échappent ? 

J'ai un doute car par exemple sur Wikipedia je lis " si la fonction  generatrice admet une limite à gauche en 1 alors $E(X) = g_X(1)$" ..........merci ! 

Ou encore [freslon] "esperance finie équivaut à la fonction generatrice est derivable en 1" ....

gebrane

Fonction génératrice/Quelques propriétés — Wikiversité (wikiversity.org)

wayana

Merci ( donne des éléments supplémentaires) , donc on peut parler de $g_X'(1)$ ( expression de la variance avec les derivees de la série generatrice) alors que cela ne correspond qu'à la limite à gauche ??
C est très élémentaire (retour aux maths pour agreg interne) 
Si c'est le cas j imagine que c est parce qu on se retreint à [-1;1] et qu on ne peut pas faire tendre x vers 1 autrement que par la gauche ?? Donc sur cet " espace" $g_X'(1)$ ne peut être autre chose  que sa limite à gauche ......??

JLapin

Oui, c'est bien une question de domaine de départ. Tu peux même te limiter à $[0,1]$ pour l'étude des fonctions génératrices : c'est suffisant pour toutes les applications usuelles.

gebrane

wayana a dit :

$g_X'(1)$ ne peut être autre chose  que sa limite à gauche ......??

Oui, c'est implicite, comme lorsqu'on dit qu'une fonction   est dérivable sur [a,b] si elle est dérivable sur ]a,b[ ,  dérivable à droite en a et à gauche en b.

wayana

Merci beaucoup !