Espaces de fonctions $\mathcal{L}^p$ à valeurs vectorielles

Dd_Kg

Bonjour,
Considérons une variable aléatoire $X$ à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie $F$. Fixons $(e_1,...,e_d)$ une base de $F$ et $(e_1^*,...,e_d^*)$ la base duale associée de $F^*$. Je voudrais justifier que la norme $||X||$ de $X$ est une variable aléatoire dans $\mathcal{L}^p$ si et seulement si pour tout forme $\varphi$ sur $F$, $\varphi(X)\in\mathcal{L}^p$. Le sens direct est évident (continuité de $\varphi$ , croissance de $x\mapsto x^p$, intégration). Mais là réciproque me pose problème. On peut écrire d'après l'inégalité triangulaire $$||X||\leq \sum_{i=1}^d |e_i^*(X)|\cdot ||e_i||$$
Il semblerait qu'il faille utiliser la croissance de $x\mapsto x^p$, puis intégrer , et utiliser Minkowski? Les normes de $||e_i||$ ne posent pas de problème car on peut "sortir le maximum" de celles ci. Mais là fonction $x\mapsto x^p$ n'est pas sous additive pour un exposant $p\geq1$...

Pouvez vous me suggérer des pistes ? Je vous remercie.
Cordialement.

Dd Kg

Renart

C'est  un peu comme pour montrer que $L^p$ est un espace vectoriel, ou en tout cas stable par addition. L'astuce est de ne pas s'embêter à essayer de faire une majoration optimale. Par exemple, en dimension $2$, on a soit \[(\|e_1^*(X(\omega))\|\cdot \|e_1\|+\|e_2^*(X(\omega))\|\cdot \|e_2\|)^p \le 2^p (\|e_1^*(X(\omega))\|\cdot \|e_1\|)^p,\] soit \[(\|e_1^*(X(\omega))\|\cdot \|e_1\|+\|e_2^*(X(\omega))\|\cdot \|e_2\|)^p \le 2^p \|e_2^*(X(\omega))\|\cdot \|e_2\|)^p.\] Et donc dans tous les cas

\[\left(\|e_1^*(X)\|\cdot \|e_1\|+\|e_2^*(X)\|\cdot \|e_2\| \right)^p \le 2^p (\|e_1^*(X)\|\cdot \|e_1\|)^p+2^p(\|e_2^*(X)\|\cdot \|e_2\|)^p.\]

Dd_Kg

Merci beaucoup, c'était classique et pas si compliqué... 
On va se retrouver avec un $d^p$ et un max d'un truc intégrable.

Foys

On s'en sort avec l'équivalence des normes en dimension finie: pour résoudre ce problème il suffit de le faire pour une seule norme bien choisie. Avec la norme $(x_1, x_2, ... x_d) \mapsto \sqrt[p]{\sum_{i=1}^d |x_i|^p}$ les calculs se simplifient d'eux-mêmes.