Irrationnalité

Calembour

Soit $\alpha$ un nombre irrationnel, je m'intéresse à la suite des parties fractionnaires : $ \{ n \alpha \} $ où $n$ est un entier naturel. Autrement dit j'essaie de déterminer l'ensemble $E(\alpha) = \{ \{n \alpha \} , n \in \mathbb{N} \} $

On a l'impression que l'irrationnalité de $\alpha$ va impliquer que l'on va pouvoir tomber sur n'importe quelle valeur de l'intervalle $[0,1[$. Mais sachant que $E(\alpha)$ est discret et que $[0,1[$ a la puissance du continu on aura pas d'égalité. Mais je me demandais alors si $E(\alpha)$ ne serait pas dense dans $[0,1[$ ?

Cordialement
Calembour

raoul.S

Oui c'est dense. En fait ta suite est équidistribuée, c'est le Théorème d'équidistribution