Probabilité et une variable aléatoire

S0_

Salut à tous,
ce problème pour vous souhaiter une bonne journée..
 Soit une population constituée à 10% de gauchers et à 90% de droitiers.
Soit un atelier de couture équipé de 7 paires de ciseaux pour droitiers et de trois pour gauchers.
Quelle est la probabilité pour que les 8 membres (pris de cette population) que constitue un groupe trouvent chacun une paire de ciseaux lui convenant ?
Cordialement
Bonaventure-S0_

lourrran

ok... et tu as fait quoi ?
Souvent, la première étape d'un exercice de probabilité ou de dénombrement, c'est en fait de la 'compréhension de texte', et donc du français, et non des maths.
Il faut donc reformuler la question, pour enlever tout le décor, et garder uniquement ce qui concerne les maths.
On nous parle d'une population avec des droitiers et des gauchers ??? ok, moi, j'ai une urne avec 10% de boules jaunes et 90% de boules rouges ... 
etc etc

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Il faut tirer 1, 2 ou 3 gauchers. Si on en tire 0, il n'y aura pas assez de ciseaux pour droitiers et si on en tire 4 ou plus, il n'y aura pas assez de ciseaux pour gauchers. Après, on demande à Bernoulli de sommer.

0 proba : 0.4304672100000001
1 proba : 0.38263752000000006
2 proba : 0.14880348000000002
3 proba : 0.03306744000000001
4 proba : 0.004592700000000001
5 proba : 0.0004082400000000002
6 proba : 2.268000000000001e-05
7 proba : 7.200000000000003e-07
8 proba : 1.0000000000000005e-08

S0_

Bonjour cher Iourrran,
C'est un texte qui est totalement mathématiques...
Je ne trouve aucun décor ..
Cordialement
Bonaventure-S0_

gerard0

Heu ... "gaucher/droitiers", "couture", "ciseaux", ... ne sont pas "totalement mathématiques". Lourrran te proposait de ne retenir que les ensembles en cause, les propriétés de leurs éléments et les relations en cause.

D'ailleurs, il va falloir rajouter l'hypothèse probabiliste sous-entendue dans ""les 8 membres (pris de cette population", car il y a une hypothèse non dite.

Bien entendu, Plm a sauté ces étapes, évidentes pour lui.

Cordialement.

lourrran

@S0_
Quel est ton objectif ?
- Tu connais la réponse à cet exercice, et tu veux poser une colle aux 'matheux' de ce forum ?
- Tu veux de l'aide pour faire cet exercice ?
A priori, tu veux de l'aide.
Et donc, fais confiance aux personnes qui te répondent : il faut reformuler la question, la réécrire, en changeant quelques mots, il faut détecter ce qui est essentiel, et ce qui est secondaire... 
C'est un exercice de compréhension de texte, et dans un second temps, un exercice de calcul.

par exemple, si on disait qu'on a une boite avec 10 paires de chaussures, 7 pour hommes et 3 pour femmes,
On a un bateau qui arrive, avec  90% d'hommes et 10% de femmes, Il y a 8 personnes qui descendent de ce bateau, quelle est la probabilité que nos 8 personnes trouvent une paire qui leur convient ?
Est-ce que cet exercice est fondamentalement différent du tien ?
Est-ce que les hypothèses probabilistes sous-entendues qu'il faut ajouter sont les mêmes ?
Est-ce que les calculs à faire seront les mêmes ?

bd2017

Bonjour

S0_ a dit :

 Soit une population constituée à 10% de gauchers et à 90% de droitiers.
.....
Quelle est la probabilité pour que les 8 membres (pris de cette population) que constitue un groupe trouvent chacun une paire de ciseaux lui convenant ?

Il y a $10\%\times 8= 0.8$  gauchers dans l'équipe. Ensuite, je bloque...

Edit: Y a-t-il un ambidextre qui travaille 8h de la main gauche et 2h de la main droite? 

S0_

Bonjour cher Gerardo,
Je comprends bien ce que tu dis...
L'exercice je l'ai pris comme ça d'un livre..
Il est vrai,
il y a des questions avant cette question mais qui sont totalement indépendantes..
J'ai répondu à la question mais après
j'ai commencé autrement à cause de la dernière question qui me parle de la variable aléatoire....
Cordialement
Bonaventure-S0_

S0_

Cher Iourrran,
J'ai au juste une inquiétude qui  m'embrouille sur la réponse que j'ai..
Sinon personne ne me demande rien comme exercice...
Merci..

S0_

Voici l'exercice : 

Soit une population constituée à 10% de gauchers et à 90% de droitiers.
1.Calculer la probabilité pour qu'un groupe de huit personnes de cette population soit constitué : 
a)d'un seul gaucher

b)d'au moins un gaucher

c) exactement trois gauchers.
2.Un atelier de couture est équipé de sept ciseaux pour droitiers et de trois ciseaux pour gauchers.
Quelle est la probabilité pour que huit membres du personnel trouvent chacun une paire de ciseaux lui convenant ?
3. On appelle X la variable aléatoire prenant pour  valeur le nombre de personnes ayant trouvé une paire de ciseaux à sa convenance.
On note G le nombre de gauchers parmi parmi les huit membres du personnel.
Dresser un tableau donnant les valeurs de X en fonction de G.
Calculer alors les probabilités pour les différentes valeurs trouvées de X.

S0_

Moi ce qui m'embête ici..
C'est toujours en regardant la variable aléatoire je ne comprends vraiment pas l'existence du lien entre G et X ..
Pour la question 2) j'ai renoncé à ma question utilisant le ''pile ou face''

Je me suis posé la question de savoir si la question 2 était :
''Quelle est la probabilité pour qu'une personne  prise soit avec un ciseau lui convenant?''..

gerard0

Bonjour.

''Quelle est la probabilité pour qu'une personne  prise soit avec un ciseau lui convenant?'' n'est pas la bonne question.

Pour le lien entre G et X, ne vois-tu pas que s'il y a beaucoup de gauchers, alors peu d'entre eux auront un ciseau adapté ?

NB : Mon pseudo n'est pas gerardo (ni gerardO).

S0_

D'accord cher gerard0..
 Quelle est la bonne question que je devrais poser ?
Ils ont parler de 8 et si c'était une personne? c'était moi mon intention ..
Et j'aimerais bien comprendre aussi la relation entre X et G

S0_

Ok..
J'ai compris maintenant le lien entre X et G..
Je l'ai compris en ce sens que:
Il y a G=0 ou G=1 ou G=2 ou G=3 et dans le cas où G=0; X=7 et dans les trois autres cas X=8...
Je pense bien répondre à la question..

gerard0

"Il y a G=0 ou G=1 ou G=2 ou G=3 " ??? Sur 8 personnes, combien peut-il y avoir de gauchers ?

Indication : On ne connaît pas la taille de la population, mais il me semble que cet exercice n'a de sens que en supposant la population très grande. Donc on a 2 hypothèses dissimulées : la population est très grande par rapport à 8; et on prend les 8 personnes au hasard dans la population.

"Je pense bien répondre à la question.." ???? Qu'est-ce que ça veut dire ? Je remarque en tout cas que, comme d'habitude, tu te gardes bien de rédiger des réponses toi-même, tu laisse encore les autres faire ton travail. Plus gênant, tes interventions semblent montrer que tu ne comprends pas l'énoncé, que tu ne fais aucun effort pour le comprendre. Ou pour te faire comprendre.

gebrane

Bonjour So   Tu choisis  la réponse qui te convient le mieux.

 Réponse 1

Soit \( X \), la variable aléatoire représentant le nombre de gauchers dans un groupe de 8 personnes. Sans l'hypothèse d'indépendance (le choix des 8 personnes se fait sans remise), la distribution est hypergéométrique. mais on ne connait  pas la distribution exacte des gauchers et droitiers dans le personnel, on ne peut pas calculer cette probabilité.

 Réponse 2

Supposons que le choix des 8 personnes se fasse de manière indépendante. Alors \( X \) suit la loi binomiale \( B(8, \frac{1}{10}) \) et la probabilité cherchée est \( P(1 \leq X \leq 3) = 0.38263752 + 0.14880348 + 0.03306944 = 0.56451 \).

 Réponse 3

La probabilité que chaque personne trouve une paire de ciseaux convenable est calculée ainsi :

- Pour les droitiers : \( \left(\frac{9}{10}\right) \cdot \left(\frac{7}{8}\right) \)

- Pour les gauchers : \( \left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{3}{8}\right) \)

On additionne pour trouver la proba cherchée

\[ p= \left(\frac{9}{10}\right) \cdot \left(\frac{7}{8}\right) + \left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{3}{8}\right) = 0.7875 + 0.0375 = 0.825 \]

S0_

cher gerard0,
Je voudrais mettre un point d'interrogation mais j'ai oublié..
Je te dire que j'ai compris l'énoncé mais de plusieurs manières et je t'ai même donné la raison de me reformuler ce que tu penses être juste c'est pas le problème de voir ce que je faisais dans le passé...
Bon c'est compris et merci pour tes réponses..
Cordialement..

S0_

Merci cher gebrane,
J'ai compris les trois réponses et je comprends maintenant que c'est pas une seule réponse..
Pour la réponse3: (9/10)(7/10)+(1/10)(3/10)?..
Cordialement
Bonaventure-S0_

gebrane

La réponse 3 est celle que tu as trouvée dans d'autres forum, par exemple ici  ou  ici  d'où ton embarras.

S0_

Bonjour cher gebrane,
Je ne me suis allé nulle part...
Je voudrais simplement m'amuser avec les exercices de probabilités et je suis tombé sur cet exercice c'est tout...
C'était même à cause de la réponse à la question4 que la réponse 3 était remise en cause..
Mais déjà j'ai compris...

Cordialement
Bonaventure-S0_

gebrane

Bonjour So. Tu as dit J'ai au juste une inquiétude qui  m'embrouille sur la réponse que j'ai ,   tu as compris c est l essentiel

 

S0_

Bonjour cher gebrane..
Merci beaucoup..
Bonaventure-S0_

gebrane

Bonjour So, je partage cette réflexion avec toi:

Dans  ce forum, on a interprété l'expérience de la manière suivante : on recrute de manière indépendante huit personnes. Les ciseaux sont mis sur une table et chaque recrue choisit un ciseau à sa convenance. Quelle est la probabilité que chacun ait une paire de ciseaux qui lui convient ?

Maintenant, interprétons l'expérience de la manière suivante : l'atelier dispose de 8 tables à couture, donc nous avons recruté 8 personnes de manière indépendante  que nous avons placées, chacune à une table, et nous distribuons de manière aléatoire des ciseaux à ces recrues. Quelle est la probabilité que chacun ait une paire de ciseaux qui lui convient ?

lourrran

... et nous distribuons de manière aléatoire des ciseaux à ces recrues 

Peux tu préciser ta pensée ?
On est toujours dans le contexte de l'exercice, à savoir qu'on a 10 paires de ciseaux, 7 pour droitiers et 3 pour gauchers, et on prend 8 paires de ciseaux au hasard parmi ces 10 paires ?
Ou c'est autrement ?
Ensuite, quand l'exercice aura été clairement formulé, on pourra dire : je bloque.

gebrane

Bonjour lourrran, voici un contexte

 Soit une population constituée à 10% de gauchers et à 90% de droitiers.

Soit un atelier de couture équipé de 7 paires de ciseaux pour droitiers et de trois pour gauchers. l'atelier dispose de 8 tables à couture,  nous avons recruté 8 personnes de manière indépendante  que nous avons placées, chacune à une table, et nous distribuons de manière aléatoire une paire de ciseaux à chaque  recrue. Quelle est la probabilité que chacun ait une paire de ciseaux qui lui convient ?

lourrran

Je n'ai jamais vu un exercice aussi difficile, j'ai 0.59443% chances de trouver la réponse, je bloque. 

gebrane

Si je lis entre les mots tu trouves donc comme proba la valeur 0.59443%

lourrran

Je te dis que je bloque, pourquoi lire entre les mots, plutôt que lire les mots ?

gebrane

bd2017 a dit :

 Ensuite, je bloque...

J' ai cru que tu imitais bd2017

gebrane

Tu trouves la question hors de ta portée .ok. J'attends l'avis des autres. La bonne réponse est 0.005944266 presque ta réponse 0.59443%

gebrane

from math import comb

def probability_correct_match():
    # Probabilités  pour le nombre de ciseaux gauchers parmi les 8 premières
    p_b = [comb(3, b) * comb(7, 8 - b) / comb(10, 8) for b in range(4)]
    
    # Probabilités de correspondance correcte pour chaque valeur possible de b
    P_b = [(0.9) ** (8 - b) * (0.1) ** b for b in range(4)]
    
    # Calcul de la probabilité totale
    probability = sum(p_b[b] * P_b[b] for b in range(1, 4))
    
    return probability

# Calcul de la probabilité
result = probability_correct_match()
print(f"La probabilité  est {result:.9f}")

lourrran

Wouu ! Quel coup de chance, je vais aller jouer au loto.

gebrane

Lourran, ne me prends pas pour un idiot.

Tu as essayé avec un code de trouver toutes les combinaisons possibles pour trouver cette probabilité. J'ai caché le raisonnement mathématique dans le programme  ; si tu arrives à déchiffrer, tu sauras le comment.

il serait intéressant que tu donnes ton code pour le bonheur de tous 

lourrran

Pas un programme à proprement parler. 
Excel, Open-Office en l'occurrence, c'est quand même l'outil parfait pour toutes ces questions.
On a mis 8 paires de ciseaux sur les tables ... combien y-a-t-il de paires pour gauchers et pour droitiers.
Il y a 21 'tirages' qui donnent 3 ciseaux-gauchers et 5 ciseaux-droitiers
21 tirages encore qui donnent 2 ciseaux-gauchers et 6 ciseaux-droitiers
et 3 tirages qui donnent 1 ciseaux-gauchers et 7 ciseaux-droitiers
21+21+3=45 ... ça servira à la fin.
Si on a tiré 3 ciseaux-gauchers et 5 ciseaux-droitiers, on a une proba de $0.1^3 \times 0.9 ^5$ que les 8 personnes qui s'assoient à nos 8 tables soient satisfaites de la paire de ciseaux qu'elles trouvent. C'est le cas le plus défavorable, il faut qu'on ait 3 gauchers dans notre groupe de 8, et qu'ils s'assoient aux bonnes tables.
Idem pour les autres configurations.
On fait la moyenne pondérée de tout ça : $\dfrac {(21 \times 0.1^3 \times 0.9 ^5) + (21 \times 0.1^2 \times 0.9 ^6) + (3 \times 0.1^1 \times 0.9 ^7)  }{21+21+3}$
et voilà.

gebrane

Bavo, cette proba s'écrit $$p=\sum_{k=1}^{3} (0.1)^k (0.9)^{8-k} \frac{\binom{3}{k} \binom{7}{8-k}}{\binom{10}{8}}$$

S0_

Bonjour cher gebrane,
Je vois et bien sûr c'est à cause de ça il y avait ta réponse 1,
Ces deux contextes sont clairs et la réponse proposée aussi pour le second conteste est compréhensive..
Merci beaucoup à Iourrran aussi..
Cordialement
Bonaventure-S0_

gebrane

Bonjour  S0_ et les intervenants/lecteurs du fil

Définir un contexte où la probabilité recherchée est donnée par la réponse 3, , c'est à dire $p= \left(\frac{9}{10}\right) \cdot \left(\frac{7}{8}\right) + \left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{3}{8}\right) = 0.825$    il faut considérer une situation ou un scénario spécifique où cette réponse est la plus appropriée ou la plus exacte selon les données  établies.

gerard0

Bonjour Gebrane.

On est toujours dans cette population avec 10% de gauchers et 90% de droitiers (pas d'ambidextres). Un individu pris au hasard arrive devant l'atelier et trouve une pancarte envoyant les droitiers dans l'atelier des droitiers, où les ciseaux ont été placés, mais il y a eu des mélanges, et seulement 7 ciseaux sur les 8 postes sont vraiment des ciseaux pour droitiers, et il prend un poste au hasard; et envoyant les gauchers dans l'atelier des gauchers, où il prend une des 8 places au hasard, mais l'à encore seuls trois postes ont effectivement un ciseau pour gaucher. Quelle est la probabilité qu'il ait un ciseau adapté ?

Cordialement.

gebrane

Bien vu gerard

gerard0

En fait, c'est le type de calcul qu'on trouve dans les exercices de probas conditionnelles, j'en a donné et corrigé tellement ...

S0_

 Salut à tous,
Merci gebrane et gerard0 pour le développement..
S0_