Nombre de Diagonales et ses points de rencontres d'un polygone

amafhh

Bonjour,

Soit l'exercice suivant:

Exercice:

Soit $(P)$ un polygone convexe à $n$  sommets. 

Combien ce polygone a-t-il de diagonales ? En combien de points distincts des sommets se coupent-elles au maximum ?

Reponse:

1) J'ai trouvé $\frac{n(n-3)}{2}$ diagonales.

2) J'ai trouvé que ces diagonales se coupent au maximum $ C_{n}^{4} $ points distincts des sommets.

Est-ce que ces reponses sont correctes ?

merci d'avance pour la réponses.

lourrran

1) Chacun des $n$ sommets sert de support à $n-3$ diagonales ; ok pour $\frac{n(n-3)}2$ diagonales.
2) Une fois qu'on a choisi 4 sommets, on a un quadrilatère, et on a un (et un seul) point d'intersection des diagonales à partir de ce quadrilatère. Ok pour $C_n^4$

Mais une réponse sans explication étant fausse par principe, je considère que tes réponses sont fausses.

amafhh

lourrran,
J'ai raisonné comme vous

jelobreuil

Bonsoir, 

Concernant le nombre de points de rencontre des diagonales, je pense que si l'on voulait répondre précisément à la question (c'est-à-dire, supprimer de l'énoncé les mots "au maximum"), il faudrait distinguer deux cas, selon que le nombre de sommets est pair ou impair ...

Bien cordialement, JLB

lourrran

On parle de polygone pas forcément régulier.  Si on parlait de polygone régulier, la parité de $n$ aurait certainement un intérêt.

jelobreuil

Ah c'est vrai, @lourran, je n'avais pas fait attention à ce détail ! Moi, quand on me dit "polygone", j'ajoute presque inconsciemment et automatiquement régulier, à partir du pentagone ! C'est dire à quel point je suis "polarisé" !!!

Bien cordialement, JLB