Reconstituer un Dobble

Math Coss

Un jeu de Dobble est essentiellement un plan projectif fini. Pour un Dobble d'ordre $n$, on a des cartes comportant $n+1$ symboles choisis parmi $n^2+n+1$ de sorte que deux cartes quelconques aient toujours exactement un symbole commun.
Il y a en principe $n^2+n+1$ cartes. En réalité, dans le jeu standard, il manque deux cartes. Dans le jeu XXL, il en manque une. Je voudrais déterminer laquelle même si ça n'a aucun intérêt. 
La question du jour : combien faut-il connaître de cartes au minimum pour reconstituer le jeu complet ? 

bisam

Dans le cas du jeu de base, l'APMEP s'est déjà posé la question : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/10-LambreV_C.pdf
Avant cela, Maxime Bourrigan avait écrit ceci pour Images des maths, la revue du CNRS.

Pour le cas général, cela revient à une résolution similaire à un Sudoku, me semble-t-il.

Math Coss

Merci pour les références. Je connaissais l'article de Maxime Bourrigan mais pas celui de Thierry Lambre. Je n'ai pas l'impression qu'aucun des deux ne réponde à ma question du jour, au demeurant moins intéressante que la mise en évidence des plans projectifs finis dans ce jeu.
Je la reformule un peu plus précisément. Dans le cas de Dobble XXL, on a $q=4$. On énumère les $21$ points de $\mathbf {P}^2(\mathbf{F}_4)$ de $1$ à $21$ pour fixer les idées. Ensuite on note les numéros des points qui appartiennent à chaque droite projective. Maintenant, si on a une liste de $21$ objets, toute énumération de ces objets par $\{1,\dots, 21\}$ permet de construire un jeu de Dobble. Sauf erreur, deux énumérations définissent le même jeu ssi elles sont dans la même orbite sous $\mathrm{PGL}(\mathbf F_4)$. La question est de retrouver l'une de ces bijections sans se coltiner toutes les cartes. Peut-être que les six droites sécanted passant par deux points d'un repère projectif donné permettent de reconstituer le jeu entier ? En général ça ne peut pas suffire parce que la réunion de ces six droites ne recouvre pas le plan projectif mais dans ce cas précis ?

Math Coss

Je ne sais pas répondre à la question mais j'ai calculé de façon assez inefficace la 21e carte du Dobble XXL, qui est d'ordre $n=4$ : elle devrait contenir une toile d'araignée, un cadenas, une goutte, une montre et un dauphin.
(Je l'ai fait en trouvant une bijection adéquate avec un plan projectif sur le corps à quatre éléments dont j'ai énuméré les droites et en mettant toutes les cartes en correspondance avec les droites. Il aurait sans doute été plus rapide de compter les occurrences de chaque symbole et de voir les symboles qui n'apparaissent que quatre fois au lieu de cinq. Cependant la méthode que j'ai utilisée permet de vérifier que le Dobble "est" bien un plan projectif sur le corps à quatre éléments.)