Variance Conditionelle

Marie_Paris

Bonjour,
Je ne comprends pas le terme surligné en jaune, pourriez vous m'expliquer ? Je suppose que c'est une décomposition de la variance conditionnelle, mais je n'arrive pas à comprendre.

plsryef

regarde ceci: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_K%C3%B6nig-Huygens

Marie_Paris

Merci, justement V[X]=E[X^2]-[E[X]]^2 je ne comprends pas d'où vient le terme en jaune.

gebrane

bof, et c'est quoi var(N), ne vois tu pas qu'on retranche un terme et on l'ajoute pour récupérer ce var(N)?

Marie_Paris

On n'ajoute pas, ce sont des termes de E(X^2) et E(X)^2 développés plus haut 

gebrane

Prend une minute pour réfléchir

Marie_Paris

J'ai pris une journée, je suis sortie de la fac il y a 10 ans, désolée Si vous ne pouvez pas m'aider, tant pis pour moi. 

gebrane

Si je t'indique le terme qu'on a retrancher et ajouter    (correction en bas par marie)   tu me payes un café ?

Marie_Paris

*retranché et ajouté 

gebrane

Dans la formule qui donne $$E(X^2)$$ retranche et ajoute le terme  $$E^2(N)E^2(Y)$$

Marie_Paris

Merci, il y a une erreur dans la démo : les termes qui disparaissent sont  E[N^2]E[Y]^2 et pas E[N]^2E[Y]^2], car on ajoute V[N]E[Y]^2 (on retranche E[N^2]E[Y]^2).

gebrane

Il n'y a pas d'erreurs dans la démonstration.

Une question indiscrète, marie : pourquoi reviens-tu aux maths après 10 ans ? C'est pour le plaisir ou la préparation d'un concours ?

Marie_Paris

E[N^2] c'est V[N], n'est-ce pas ?

gebrane

No marie, reprend toi  $$ var(N)=E(N²)- (E(N))²$$

Marie_Paris

Non, je ne fais pas de concours, pour le plaisir.  

gebrane

ok j'espère que tu as compris bonne fin de soirée

Marie_Paris

Bon, tant pis, je ne comprends toujours pas d'où vient V(N)E(Y)^2

gebrane

Bof, si tu ne comprends pas, ce n'est pas la fin du monde. J'ai fait tout ce que j'ai pu pour t'aider à comprendre.

Marie_Paris

J'ai compris +/- d'un terme pour pouvoir écrire V(N)E(Y)^2, mais on peut juste développer la formule E[X^2]-E[X]^2 pour avoir le même résultat. 

NicoLeProf

Bonjour, 

Oui, plus simplement :$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=E(N)E(Y^2)+E(N^2)E(Y)^2-E(N)E(Y)^2-E(X)^2$.

Or, $E(X)=E(N)E(Y)$ donc $E(X)^2=E(N)^2E(Y)^2$.

Ainsi, $V(X)=E(N)E(Y^2)+E(N^2)E(Y)^2-E(N)E(Y)^2-E(N)^2E(Y)^2$.

$V(X)=E(N)[E(Y^2)-E(Y)^2]+[E(N^2)-E(N)^2]E(Y)^2$.

Donc $V(X)=E(N)V(Y)+V(N)E(Y)^2$.

Marie_Paris

Merci !