Variance

Marie_Paris

Bonjour, 

Je n'arrive pas à développer la variance de X à partir de l'espérance. Pourriez vous m'aider, s'il vous plaît ? Je n'arrive pas, en fait, à appliquer l’équation de décomposition de la variance. Merci beaucoup ! 

gebrane

Non capisco niente.

zygomathique

salut

qui est X ?

Marie_Paris

Bonjour,
X : charge totale, N : nombre, Y charge par N.

zygomathique

expression de X en fonction de Y et N ?

Marie_Paris

Oui, c'est ça.

aléa

Est-ce que $X$ serait la somme de variables indépendantes de même loi que $Y$, avec un nombre de termes aléatoire qui serait donné par $N_S$ ?

aléa

Si c'est bien ce que je crois deviner, connais-tu la notion de variance conditionnelle ?

Marie_Paris

oui, je connais, en fait, je ne trouve pas exactement la même chose, je me suis trompée quelque part.

gebrane

OK, Avec la reformulation de Alea

Si \( X_1, X_2, \ldots \) sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) avec \(\mathbb{E}[X_i] = \mu < \infty\) et si \( N \) est une variable aléatoire avec \(\mathbb{E}[N] < \infty\) indépendante des \( X_i \), comment   démontres- tu que 

\[\mathbb{E}[X_1 + \ldots + X_N] = \mu \mathbb{E}[N]\] avant de voir la variance

aléa

D'après mon calcul, la formule proposée est fausse; il ne devrait pas y avoir de carré.

Marie_Paris

Oui, il y a un carré, mais je ne comprends pas l'explication : Risk Analysis 13 - The Collective Risk Model (youtube.com)

gebrane

Je tombe sur la forme exacte $Var(X) =\sigma^2E[N]+\mu^2Var(N)$

aléa

Oui, la formule est bonne, j'avais utilisé la linéarité de la variance .

Marie_Paris

En fait, je ne comprends pas comment on arrive à la dernière ligne, selon quelle propriété de la variance conditionnelle on peut écrire E(X)^2*VAR(N) et E(N)VAR(X). 
 

aléa

On a la formule générale \(Var(X)=Var E(X|N)+E(Var(X|N))\).

Comme \(E(X|N)=NE(Y)\) et \(Var(X|N)=N Var(Y)\), ça donne le résultat.

Marie_Paris

Merci, mais je n'arrive pas à développer VAR(somme(E(X|N)).

aléa

Il n'y a plus de somme; $X$ est la somme.

Si tu as su démontrer que $E(X|N)=NE(Y)$, tu dois pouvoir calculer aussi $E(X^2|N)$; c'est un peu plus compliqué car il faut développer le carré, mais essentiellement c'est pareil, tu vas trouver que $E(X^2|N)=N E(Y^2)+N(N-1)E(Y)^2$.

(essentiellement, comme $N$ est indépendant des $Y_i$, conditionner par $N$, c'est faire comme si N était une constante).

Marie_Paris

Je suis complétement perdue

aléa

Connais-tu des trucs théoriques sur l'espérance conditionnelle ?

Par exemple, sais-tu montrer proprement que $E(X|N)=NE(Y)$ ?

Marie_Paris

Les souvenirs de la fac, oui, je vais trouver quelques démo sur Internet.

Marie_Paris

C'est bon, j'ai trouvé ). J'ai compris les formules. Merci pour votre aide !