Electrodynamique: quantité de mouvement

Tamasushi

Bonjour,

Je me posais quelques questions sur ... si quelqu'un veut bien prendre la peine d'y répondre.

En électrodynamique, on définit le lagrangien

$$ L(x,v) = \frac{1}{2} m \vec v^2 - q V + q \vec A . \vec v $$

avec $(x,v)$ la position et la vitesse, $q$ la charge électrique de la particule, $V$ le potentiel scalaire et $\vec A$ le potentiel vecteur auxquels la particule est soumise. Dans ce cas on se rend compte que le moment conjugué à la position devient

$$\vec p = \frac{\partial L}{\partial \vec v} = m\vec v +q \vec A $$

J'ai plusieurs problèmes avec cette expression

1) Les quantités qui apparaissent dans cette expression $m$, $\vec v$ et $q$ sont propres à la particule. Pourquoi alors une quantité qui m'a l'air extérieure à la particule, le potentiel $\vec A$, apparaît-elle dans cette expression ? Intuitivement, je comprends qu'une particule soumise à un champ va voir sa quantité de mouvement varier mais j'aurais plus vu cela comme une conséquence d'équations comme le PFD, c'est-à-dire que je vois plus la quantité $m \vec v$ comme le membre de gauche dans le PFD et la quantité $q \vec A$ comme une conséquence d'un membre de droite de l'équation qui ferait qu'à la fin on aurait bien $\vec p = m\vec v +q \vec A$.

2) L'équation de la dynamique qui en découle reste-elle bien la même que d'habitude: $\frac{d \vec p}{dt} = q(\vec E + \vec v \wedge \vec B )$ ?

3) S'agit-il toujours bien d'une quantité de mouvement ? Ou juste d'un moment conjugué qui ne serait alors qu'une définition mathématiques sans plus de signification ? Lors de la définition de ce lagrangien, est-ce qu'on a cherché à définir un lagrangien pour l'électrodynamique et oups on s'est rendu compte que cela modifiait la quantité de mouvement habituelle mais comme les maths donnaient on s'est pas posé plus de questions ?

4) Enfin en relativité restreinte, on a 
$$ E^2 = \vec p^2 c^2 +m^2 c^4 $$

S'agit-il toujours du même $\vec p$ ou faut-il au contraire soustraire $q \vec A$ pour avoir la quantité désirée:
$$ E^2 = (\vec p -q\vec A)^2 c^2 +m^2 c^4 $$


Merci.

YvesM

Bonjour,
Rapidement,

1) D’où te vient l’idée que la vitesse d'une particule ne dépend que de la particule ? 
D'autres pensent que les variations de vitesses (accélérations) d'une particule dépendent des forces extérieures qui agissent sur cette particule ; et que l'on peut donner une vitesse choisie à une particule chargée en lui imposant un champ électrique. 

2) Oui. C'est un exercice du cours. Définis les champs électrique et magnétique et dérive la force de Lorentz avec $\displaystyle {d\vec{A}\over dt}={\partial\vec{A}\over \partial t} + (\vec{V} \bullet \Delta)\vec{A}$, $\displaystyle  \Delta \wedge \vec{A}=\vec{B}$ et $\displaystyle \vec{E} = - \Delta \phi - {\partial\vec{A}\over \partial t}.$

3) Des termes divers sont utilisés dans les livres et souvent les termes anglo-saxons supplantent les termes en français. 
La "quantité de mouvement" est le produit de la masse par la vitesse d'une particule. 
L' "impulsion" est une généralisation lagrangienne ou hamiltonienne par le conjugué des coordonnées de position.
Le quadri-vecteur "énergie-impulsion" est une généralisation de la relativité restreinte ou générale par le conjugué des coordonnées de position.
L' "opérateur impulsion" est une généralisation quantique par des relations de commutation avec l’opérateur position. 

4) Dans la relation $\displaystyle E^2=\vec{p}^2 c^2 + m^2 c^4$, c'est bien $\displaystyle \vec{p} = \gamma m \vec{v}$. C'est le vecteur énergie-impulsion $\displaystyle \vec{P} = {\partial L \over \partial \vec{v}}$ qui vaut  $\displaystyle \vec{P} =\vec{p} + q \vec{A}.$
La relation que tu as écrite est fausse : il ne faut pas confondre $\vec{p}$ et $\vec{P}.$ 

Tamasushi

Bonjour,

Merci de cette réponse.

1) J'avais l'impression que dans la quantité de mouvement on mettait ce qui était propre à la particule, propre pas de le sens indépendant du reste de l'univers mais quelque chose qui caractérise la particule et qu'on peut mesurer qu'en regardant la particule. Ici, en l'occurence, $\vec A$ est quelque chose d'extérieur à la particule. La vitesse $\vec v$ dont tu parles ne dépend effectivement pas que la particule et peut être modifiée par ce qui est extérieur mais j'ai l'impression justement que c'est quelque chose dont on rend uniquement par une équation type PFD et que ce PFD nous que les modifications des caractéristiques de la particule peut se faire par des causes extérieures. Tandis qu'ici on introduit déjà une cause extérieure dans le moment même $\vec p$ au lieu d'en faire un résultat d'une cause extérieure.

2) Ok ce qui me manquait c'était $d_t \vec A = \partial_t \vec A + (\vec v . \nabla ) \vec A$

On a donc par les équations d'Euler-Lagrange

$$ d_t \frac{\partial L}{\partial \dot x_i}  = \partial_{x_i} L$$

$$ d_t (m \vec v + q \vec A) = - q \nabla V + q \left( (\vec v . \nabla ) \vec A + \vec v \wedge \vec{rot} \vec A \right) $$

en ayant utilisé la formule d'analyse vectorielle $ \nabla (\vec v. \vec A) = (\vec v . \nabla ) \vec A + \vec v \wedge \vec rot \vec A $

$$ d_t (m \vec v ) + q ( \partial_t \vec A + (\vec v . \nabla) \vec A  =  - q \nabla V  + q \left( (\vec v . \nabla ) \vec A + \vec v \wedge \vec{rot} \vec A \right) $$

soit finalement

$$ d_t (m \vec v ) = q( \vec E + \vec v \wedge \vec B )$$

avec $\vec E = - \nabla V - \partial_t \vec A$ et $\vec B = \vec{rot} \vec A$

4) Par contre avec tes notations on a bien $E^2 = (\vec P - q \vec A)^2 c^2 + m^2 c^4 $ ? 
Et c'est pour cette raison que lorsqu'on écrit l'équation de Klein-Gordon pour une particule chargée, ayant d'abord $P^2 -m^2 c^2 =0$ dans le cas d'une particule non chargée, on remplace par $(P-q A)^2 -m^2 c^2 =0$ ?

YvesM

Bonjour,
Rapidement,
1) La vitesse dépend des forces extérieures et $\vec{A}$ dérive de ces forces. Il est donc rassurant de trouver une relation entre ces deux grandeurs. 

2) Le plus difficile pour les physiciens est de retrouver ou de démontrer la formule d’analyse vectorielle. 

4) Impossible de te répondre car tu n’as pas défini le quadri vecteur $A$ à ne pas confondre avec le potentiel vecteur $\vec{A}$.
On a $\displaystyle P\bullet P={E^2\over c^2}-\vec{p}^2=m^2c^2$ invariant. 

Les livres utilisent des notations différentes pour les quadri vecteurs. 

Quand tu écris $\vec{P}-q \vec{A}$ et $\vec{rot} \vec{A}=\vec{B}$, tu écris une relation entre un quadri vecteur $\vec{P}$ et un vecteur de l’espace à trois dimensions $\vec{A}$ : c’est absurde. 

Je ne peux que te renvoyer à ton cours et à ses notations. 

Quand j’écris $\vec{P}=\vec{p}+q \vec{A}$ toutes ces quantités sont des quadri vecteurs… Pour ne pas confondre avec les vecteurs tridimensionnels on utilise généralement la notation indicielle $P^{\mu}=p^{\mu}+q A^{\mu}$…