Points de Poncelet

stfj

Bonjour,

En lien avec cette discussion récente sur l'espace des cercles, comme je n'ai pas bien compris ce que sont les points de Poncelet, j'ai pris un exemple :

Je considère deux cercles $E_1$ et $E_2$ très simples puisque le premier est $$\boxed{E_1:x^2+y^2=1}$$et le second$$\boxed{E_2:(x-4)^2+y^2=4}$$.

J'ai alors trouvé leur axe radical $$\color{red}x=\frac{13}{8}$$ce que confirme l'animation geogebra que j'ai faitehttps://www.geogebra.org/classic/u9zcx7wp

On obtient alors le faisceau de cercles $$8tx+0y-(1+13t)+x^2+y^2, t\in \mathbb R$$

ce que confirme à nouveau l'animation en appuyant sur le petit triangle à côté de $t$

 dans la fenêtre Algèbre de geogebra, par exemple.

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J'ai alors deux définitions des points de Poncelet pas très claires fournies par wikipedia,

- Définition 1 : projetés orthogonaux sur xx' des points des tangentes commune à $E_1$ et $E_2$;

- Définition 2 : centre des cercles du faisceau de rayon nul.

En faisant une construction géométrique en magenta et vert sur la figure, j'obtiens des points correspondants à la définition 1; via le calcul, j'obtiens des centres des cercles de rayon nul d'abscisses $$\frac{13\pm\sqrt{105}}{8}$$pour la seconde. Mais cela ne correspond pas.

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Je sollicite donc votre aide.

Cordialement.

Vassillia

Bonjour stfj, le calcul a gagné, il te donne la bonne réponse !

De ce que je comprends, il faut lire projeté orthogonal comme intersection avec le cercle orthogonal, dans le lien wikipedia, c'est le cercle en pointillé

stfj

Merci @Vassillia : comment calcule-t-on ce cercle orthogonal ?  Comment prouver que le cercle de diamètre les deux points de Poncelet est orthogonal à tous les cercles du faisceau ?

Vassillia

Il appartient au faisceau orthogonal (cercles passant par Q et R), faisceau orthogonal où Q et R sont des points de base et où tous les cercles du faisceau orthogonal sont orthogonaux à ceux du faisceau initial.

stfj

Je suis en train de lire le commentaire de @Gilles old en 2015, avec une très jolie figure :

GaBuZoMeu

Deux droites polaires l'une de l'autre (par rapport à la quadrique orthogonale) sont des faisceaux de cercles orthogonaux. L'une des droites coupe la quadrique fondamentale en deux points réels , ses points de Poncelet, qui sont les points de base de l'autre faisceau.

On peut étudier les cas spéciaux : faiseaux de droites, faisceaux de cercles tangents.

stfj

Voici ce que le tout début de son commentaire m'inspire : https://www.geogebra.org/classic/u9zcx7wp

stfj

Ai-je raison quand j'affirme que le point à l'infini d'un faisceau de cercles est son $\color{red}\text{axe radical}$ ? En ce cas, le grand "mystère des points à l'infini "qu'on ne verrait pas, ne serait qu'un mythe, n'est-ce pas ?

stfj

Voici la représentation graphique de $$t\mapsto 16x^2+13x+1$$ : https://www.geogebra.org/calculator/qhz7g9kf

Pour $t'<x<t$, avec $t,t'$ définis plus haut, l'élément de la droite $$\begin{bmatrix}0 \\0 \\-1 \\1\end{bmatrix}+\mathbb R\begin{bmatrix}8 \\0 \\-13 \\0\end{bmatrix}$$

existe mais ne correspond pas à un cercle du plan euclidien $\mathbb R^2$

Comment fait-on pour ne pas être embêté avec ces cas ?