Développement décimal périodique

Piteux_gore

Bonjour,
Un exercice un tantinet original
trouver les dénominateurs des fractions irréductibles dont le développement décimal est de la forme $n,abbb...$.
Cordialement,

Poirot

On a $$n,a \overline b = n + \frac{a}{10} + \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{b}{10^k} = n + \frac{a}{10} + \frac{b}{100} \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{90n+9a+b}{90}.$$ Les dénominateurs font donc partie des diviseurs de $90$, qui sont $$1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.$$ En jouant avec les valeurs de $a, b$ et $n$ on voit qu'on peut tous les obtenir.

Piteux_gore

Pas d'accord : les dénominateurs possibles sont les diviseurs de $90$ qui contiennent $2$ et/ou $5$ plus d'autres facteurs premiers, donc $6, 15, 18, 30, 45, 90$.

Dom

Peut-être qu’il y a une donnée implicite ? Doit-on avoir $a\neq b$ ?
Le nombre $\frac{1}{3}$ a bien une écriture décimale souhaitée et possède $3$ comme dénominateur de son écriture en fraction irréductible. 

Une remarque : le $n$ ne joue aucun rôle sauf erreur (on peut s’en passer et convenir qu’il vaut zéro). 

zeitnot

8/5=1,6000........qui est bien de la forme demandé, je propose de ne pas exclure le 5.

Dom

Même si la phrase de Piteux_gore m’apparaît ambiguë, j’estime qu’il a mis 5 dans les solutions. 

Une remarque : la formule de Poirot montre à nouveau que si b=9 ça donne la même chose que changer « a en a+1 » (pour a plus petit que 9 !) et « b en 0 ». [le fameux 0,09999… = 0,1]
Rien n’est magique, certes, mais je trouve cela très plaisant. 

Math Coss

Il fallait comprendre que $n$ est un entier quelconque alors que $a$ et $b$ sont compris entre $0$ et $9$ ? J'étais loin du compte !

Piteux_gore

SEDMP, $0$ et $9$ ne sont pas des périodes licites.

Dom

Donc dans l’écriture : $n,a\bar{b}$.
$n$ est un entier naturel
$a$ est un élément de $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
$b$ est un élément de $\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$
question : autorise-t-on $a=b$ ?

Julia Paule

Dans ce cas ($0$ et $9$ pas des périodes licites), le dénominateur doit être un multiple de $3$ et un diviseur de $90$, ce qui donne bien les nombres de @Piteux_gore, sauf qu'il manque le $3$ et le $9$.
Par exemple, $1/3$ fait bien partie des nombres dont le développement décimal périodique est de la forme voulue.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

$\displaystyle{n,abbb... = n+\sum_{i=1}^{+\infty} 10^{-4i}abbb = n+abbb\frac{10^{-4}}{1-10^{-4}}=\frac{9999n+abbb}{9999} }$

Or 9999=3x3x11x101.

Aucun abbb ne contient 11 ou 101. Les abbb qui ont un seul 3 sont 0111, 0222, 0444, 0555, 0777, 0888, 3000, 3111, 3444, 3666, 3777, 3999, 6000, 6222, 6333, 6555, 6888, 6999, 9111, 9222, 9444, 9555, 9777, 9888. Et les abbb qui ont deux 3 sont 0333, 0666, 0999, 3222, 3555, 3888, 6111, 6444, 6777, 9000, 9333, 9666.

Les seuls dénominateurs possibles sont 9999, 3333 ou 1111.

[postmortem]Le tout est de s'entendre sur l'énoncé.[/postmortem]

Piteux_gore

L'énoncé sous-entend que $a \ne b$, de sorte que $1/3 = 0,333...$ n'est pas valable.

zeitnot

Piteux_gore a dit :

SEDMP, $0$ et $9$ ne sont pas des périodes licites.

0 n'est pas licite ? Donc le théorème qui dit que tout rationnel admet un développement décimal periodique est incorrect ?

Dom

Piteux_gore, 
L’exercice est original je trouve. Il faudrait proposer un énoncé clair. J’allais dire « une fois pour toutes ». Les interventions sont de bonne foi si j’en crois ce que je lis. 

Cordialement 

lourrran

On est dans un contexte 'énigme', et pas dans un contexte 'exercice'. 
En lisant l'énoncé, il m'est apparu totalement naturel de dire que $a$ devait être différent de $b$, et que $b$ devait être différent de $0$. Le cas $b=9$ est un cas dégénéré. Je n'ai pas envisagé de l'éliminer, et de toutes façons, dans un contexte énigme, ce cas n'arrive pas, personne ne dira que 16/10 = 1.5999999...

Piteux_gore

Une refonte de l'exercice (Saint-Cyr 1880) :
trouver les dénominateurs des fractions irréductibles dont le développement décimal est de la forme $n,abbb...$ avec $n$ entier quelconque, $a$ chiffre quelconque et $b$ chiffre différent de $a, 0, 9$.

Dom

Oui lourrran, je suis d’accord. Mais il faut alors accepter les solutions crédibles dont le rédacteur n’aura pas sonder la tête de l’auteur.