Relations coefficients-racines (X 1880)

Bonjour,
Un petit devoir de vacances pour réviser le programme de Math-Sup :smile:
Étant donnée l'équation $x^4 - x^2 + 2x - a = 0$, déterminer $a$ de manière que le produit de deux des racines soit égal à la somme de ces mêmes racines ; résoudre l'équation dans ce cas.
Cordialement
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Réponses

  • Notons $x_1$ et $x_2$ les deux racines dont il est question et $u$ leur somme-produit. $x_1$ et $x_2$ sont alors les racines de $X^2-uX+u$. Par conséquent, $X^4-X^2+2X-a$ doit être divisible par $X^2-uX+u$.
    En posant la division euclidienne, ça revient à $u^3 - 2u^2 - u + 2=0$ et $u^3 - u^2 -u + a =0$.
    Je te laisse résoudre la première équation et en déduit les valeurs de $a$ en reportant dans la deuxième.
  • Piteux_gore
    Modifié (July 2024)
    J'étais passé par les relations de Viète, mais cette méthode est plus élégante.
    On trouve deux valeurs possibles, à savoir $1$ et $-2$.
    Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections.
  • Chaurien
    Modifié (July 2024)
    En posant $y=x-1$ l'équation devient $(y+1)^4-y^2+(1-a)=0$, soit : $y^4+4y^3+5y^2+4y+(2-a)=0$. 
    La condition sur les racines $x_1x_2=x_1+x_2$ de l'équation initiale équivaut au fait que le produit de deux des racines de l'équation en $y$  est égal à $1$. Si $a \neq 2$, ceci équivaut aussi au fait que l’équation en $y$ a une racine commune avec son équation réciproque $(2-a)y^4+4y^3+5y^2+4y+1=0$. Cette racine commune est racine de l'équation obtenue par soustraction : $(a-1)y^4+(1-a)=0$. Écartons aussi le cas $a=1$, à traiter à part, alors $y$ est une racine quatrième de l'unité.
    On peut continuer mais ce n'est pas immédiat :/ .
  • C'est en tout cas une jolie idée.
  • Notons $x$ et $y$ les deux racines et $s=x+y=xy$ on a : 

    $$\begin{cases}
    x^4-x^2+2x-a=0\\
    y^4-y^2+2y-a=0\\
    \end{cases}
    $$

    par soustraction , on obtient l'équation : $(x^4-y^4)-(x^2-y^2)+2(x-y)=0$

    1er cas : $x=y$   imposssible car le polynôme $X^4-X^2+2X-a$ ne peux pas avoir une racine double $0$ ou $2$.
    2ème cas $x\neq y$ : $(x+y)(x^2+y^2)-(x+y)+2=0$
    donc : $s(s^2-2s)-s+2=0$ soit $s^3-2s^2-s+2=0$ d'ou $s=2$ ou $s=1$ ou $s=-1$.
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