Première démonstration en Morley circonscrit

stfj

Bonjour,

Je me bats comme je peux avec la méthode dite de Morley. Je me suis cassé les dents sur plus d'un exercice simple.

Aussi j'ai décidé de tenter de résoudre un exercice on ne peut plus banal : démontrer que les médianes de tout triangle sont concourantes.

Je vous soumets donc la démonstration en code sagemath, où il suffit de savoir que 

* u.cross_product(v) calcule les mineurs de la dernière colonne de la matrice $$M\doteq Mat(u,v,w)$$avec $u\in \mathbb C^3$ ainsi que $v$ et $w$;

* $a,b,c$ désignent les sommets du triangle de base placés conformément à la méthode de Morley sur le cercle unité $\mathbb U$ de $\mathbb C$

* Ap, Bp, Cp sont utilisés sur sagemath parce qu'on ne peut pas mettre $A',B', C'$ milieux de $[BC]$(etc.)

* On travaille dans l'espace projectif complexe $$\mathbb P_{\mathbb C}(\mathbb C^3)$$et son dual. Ici, on a sept éléments de l'espace projectif et trois éléments du dual.

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 var('a b c')
A=vector([a,1,1/a])
B=vector([b,1,1/b])
C=vector([c,1,1/c])
Ap=1/2*(B+C)
Bp=1/2*(A+C)
Cp=1/2*(A+B)
AAp=A.cross_product(Ap)
BBp=B.cross_product(Bp)
G=AAp.cross_product(BBp)
CCp=C.cross_product(Cp)
nul=CCp*G
print (factor(nul))

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fournit $0.\square$

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En outre, cela fournit évidemment le barycentre $\frac13(a+b+c)$ de $(a,b,c)$ : $$\frac{1}{3} \, {\left(a + b + c\right)} a b c:\,a b c:\,\frac{1}{3} \, a b + \frac{1}{3} \, a c + \frac{1}{3} \, b c$$

J'ai pu constater à quel point cette méthode de Morley occupait de nombreuses discussions sur les-mathématiques.net depuis plus de dix ans, et encore aujourd'hui. J'espère que celle-ci ne sera pas inutile et l'occasion de partager des expériences, des idées pour l'approfondir, ... que sais-je? à partir d'une base simple mais que j'espère enfin solide. De toutes façons, comme des membres du site utilisent avec maestria cette méthode, ils pourront garantir ou non la solidité de la démonstration proposée plus haut.

Cordialement.

Vassillia

Est-ce correct ? Oui bien sûr

Est-ce que ça me plait complétement ? Pas tout à fait

Ce qui est important, de mon point de vue, c'est de normaliser les points avant de les additionner (pour avoir le milieu Ap par exemple). Ici c'est inutile puisqu'ils sont déjà normalisés mais j’espère que tu en as conscience.

Par contre le facteur 1/2 je m'en fiche complétement, les points sont définis à un facteur non nul près.

stfj

Oui j'ai conscience qu'il faut normaliser et utiliser $\doteq$ pour de tels objets. Merci de ton retour de spécialiste.

Vassillia

Tant mieux si tu en as conscience et je ne suis pas une spécialiste mais j'ai appris auprès d'eux, ça aide.

stfj

def norm(P):
    return P/(Linf*P)
def simple(vec) :   
    num=gcd([numerator(vec[0]), numerator(vec[1]), numerator(vec[2])])
    den=lcm([denominator(vec[0]),denominator(vec[1]),denominator(vec[2])])
    facteur=num/den
    vec0=factor(vec[0]/facteur)
    vec1=factor(vec[1]/facteur)
    vec2=factor(vec[2]/facteur)
    vecteur=vector([vec0,vec1,vec2])
    return vecteur
var('a b c')
Linf=vector([0,1,0])
A=vector([a,1,1/a])
B=vector([b,1,1/b])
C=vector([c,1,1/c])
Ap=norm(B)+norm(C)
Bp=norm(A)+norm(C)
Cp=norm(A)+norm(B)
AAp=A.cross_product(Ap)
BBp=B.cross_product(Bp)
G=AAp.cross_product(BBp)
CCp=C.cross_product(Cp)
nul=CCp*G
print (factor(nul))
print (simple(G))