intégrale non convergente

Besma bissan

Salut,
 Soit \( f \) une fonction telle que \[ ||f(t)|| \leq \left( \frac{e^{wt}}{t^{2-\alpha}} + \frac{e^{wt}}{t^{2-2\alpha}} \right), \] où \(\alpha \in ]0,1]\) et \( w \) est un réel positif.

J'ai besoin de majorer l'intégrale fractionnaire de la fonction \( f \), c'est-à-dire \( I^{1-\alpha}f(t) \). Cependant, je rencontre une intégrale non convergente \[ \int_0^t \frac{e^{ws}}{s^{2-\alpha}(t-s)^\alpha} \, ds. \] Est-ce que si on ajoute et soustrait quelque chose du côté gauche de l'inégalité, on peut éviter ce problème ?

 La deuxième partie se passe normalement.

Area 51

En demandant un petit effort à $\alpha$, soit $\alpha \in \, ]0,1[$, ça devrait passer.

Besma bissan

@Area 51
Même si on prend $ \alpha=0.5$ l'intégrale reste diverge.

gebrane

A revoir ta définition de l'intégrale fractionnaire 

Besma bissan

@gebrane l'intégrale fractionnaire d'ordre $1-\alpha$ de la fonction $f$ est donné par la formule: 
$ I^{1-\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t \frac{f(s)}{(t-s)^\alpha}ds$.

YvesM

Bonjour,
Après majoration les deux intégrales divergent en $0$ pour $0 < \alpha \leq 1$. Donc soit on change le domaine de $\alpha$, par exemple $\displaystyle {1 \over 2}<\alpha \leq 1$ soit la majoration fournie est insuffisante. 

JLapin

Si $f$ est continue en $0$, on n'a pas besoin de la majoration, non ?

Comme souvent, un peu de contexte donnerait plus de sens à la question posée...

JJ

Bonjour,

je n'ai pas le temps de regarder immédiatement le problème. Mais, à première vue, il faut probablement considérer la Cauchy principal value :

$$P.V.\int_0^t\frac{e^{ws}}{s^{2-\alpha}(t-s)^\alpha}ds=\pi\: w \:\text{csc}(\pi\alpha)\:_2F_1(\alpha;1:t\,w)$$

gebrane

Besma bissan a dit :

 l'intégrale fractionnaire de la fonction \( f \), c'est-à-dire \( I^{1-\alpha}f(t) \). 

Lorsque on parle d'une integrale fractionnaire on precise l'ordre et l'origine, la bonne notatiuon est 
$$I^{\alpha}_a(f(t))=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_a^t f(s)(t-s)^{\alpha - 1} ds$$
peut être que dans ton problème l'origine n'est pas 0

Besma bissan

JJ a dit :

$$P.V.\int_0^t\frac{e^{ws}}{s^{2-\alpha}(t-s)^\alpha}ds=\pi\: w \:\text{csc}(\pi\alpha)\:_2F_1(\alpha;1:t\,w)$$

Est-ce que vous êtes sûr que cette intégrale converge pour \(\alpha \in ]0,1]\) ? 

Je crois que pour qu'une intégrale de cette forme soit convergente, il faut que \(2 - \alpha < 1\) et \(\alpha < 1\), alors on trouve une contradiction.

(Pour que cette intégrale \(\int_0^t \frac{e^{ws}}{s^{\alpha}(t-s)^{\beta}} \, ds\) converge, il faut que \(\alpha, \beta < 1\))

Besma bissan

@gebrane Oui, c'est ça la formule générale, je l'ai écrite pour un ordre $1-\alpha$ pour faciliter les choses. 

Besma bissan

@YvesM Le domaine que vous avez donné pour $\alpha$ ne suffit que pour que la deuxième intégrale converge, mais la première reste divergente.

Besma bissan

@JLapin je pense que la fonction $f$ n'est pas definie en 0. Que peut-on faire dans ce cas?

JLapin

Envoyer un message à ton chargé de TD / maître de stage / auteur de l'article / autre

Bref, le contexte...

gebrane

Tu n'as pas compris mon message; je voulais  insister sur le fait si la borne inferieure de l intégrale est bien $0$  ou un $a>0$

Besma bissan

@gebrane
 La borne inferieure est 0. 

Besma bissan

@JLapin
J'ai contacté l'auteur de l'article pour ce point. Mais malheureusement, je ne reçavais pas une réponse.

 Peut-être que la première inégalité doit être améliorée ou bien $f$ n'est pas intégrable d'ordre $\alpha$    (L'auteur n'a pas étudié l'intégrabilité fractionnaire de cette fonction, mais il a étudié d'autres propriétés).

La question qui se pose maintenant: Comment vérifier qu’une fonction $f$ est intégrable au sens fractionnaire (où $f$ n'ai pas définie en 0) ou différenciable d'ordre fractionnaire ( $f$ n'ai pas continue en 0)? 

JLapin

Il s'agit de montrer une intégrabilité. Souvent, un équivalent simple, une comparaison, ou simplement une hypothèse d'intégrabilité font l'affaire.

Mais il faut vraiment t'arracher les infos sur le contexte de ta question : pas de nom d'article, de page, etc.

 Ce sera donc définitivement ma dernière réponse à ce fil.

Bon courage à toi.