Conceptualiser les applications dès la Troisième ?

stfj

Bonjour,

Je vous propose de nous placer dans un cadre idéal, où nous ambitionnerions de commencer dès la 3è, de montrer aux élèves qu'avec des fonctions, on peut tout faire; tandis que sans fonctions en mathématiques on ne peut rien faire, pour reprendre l'expression quelque part de Roger Godement.

Pour éviter tout malentendu, je répète qu'il s'agirait d'un cadre idéal, où les élèves possèderaient dès la 3è, les connaissances supposées accumulées depuis les classes de maternelle.

De tels élèves existent : j'en ai croisés rarement et je dois dire que j'en croise tous les ans mais il est vrai qu'ils sont rares.

Imaginons néanmoins une classe de 3è remplie de tels élèves. Que leur dirions-nous ? Bref, une espèce $^0$, toutes proportions gardées, de fonctions pour agrégatifs :

- il y a évidemment les fonctions linéaires et affines$^1$ $$f:\mathbb R\to \mathbb R$$ $$x \mapsto ax+b$$où $a,b \in \mathbb R$[là, je force évidemment le trait puisque les inclusions et surtout les différentes notations sont prématurées en 3è, y compris $$\mathbb N\subset \mathbb Z\subset\mathbb Q\subset \mathbb R$$mais par contre un chapitre est consacré à la nature des nombres.]

x	0	1	-1	2	-2
2x
2x+3						9

paraîtra sans doute plus habituel à un élève de 4è/3è égaré sur cette discussion, les situations de proportionnalité étant en outre associées à des droites passant par l'origine du repère; l'exemple fantastique tel que journées de ski avec forfait des mathématiques commerciales aidant grandement;

- il y a des fonctions non affines telles que $$x\mapsto x^2$$

x	3	1	0	5	-7
x²

Qu'on songe à l'aire $c^2$ d'un carré de côté $c$ vue en 6è;

- il y a la fonction $$âge:\{\text{élèves de la classe de 3è}\}\to \mathbb R$$ $$élève x\mapsto \text{âge de }x$$;

- il y a la fonction $Taille$;

- il y a la fonction vectorielle $$f:\{\text{élèves de la classe de 3è}\}\to \mathbb R\times \mathbb R$$ $$élève x\mapsto (\text{âge de }x, \text{ Taille de }x)$$

- il y a la fonction de deux variables $$\text{Somme des faces de deux dés}: [[1,6]]\times [[1,6]]\to [[2,12]]$$ $$(x,y)\mapsto x+y$$ que j'ai trouvée récemment dans un manuel de CM1 des années 70$^3$;

- il y a une probabilité $p$ sur un univers $U$ fini $$p:\mathcal P(U)\to [0,1](^6)$$ $$A\to p(A)$$

Qu'on songe à l'événement $A: $"Obtenir $7$ dans le lancer précédent", la réalisation préalable de cubes en papier étant fortement recommandée$^4$.

Bref il y a plein de fonctions/applications $f$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ $$f=(E,F,G)$$où $G$ désigne un graphe fonctionnel$^2$ de $E\times F$ $^5$.

Je vous propose comme moi de vous faire plaisir en proposant d'autres fonctions significatives. Qui sait? peut-être un(e) collégien(ne) s'intéressera-t-il(elle) à nos élucubrations de matheux.

Cordialement, stfj.

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$^0.-$ J'ai en tête la notion d'espèce de grandeur qu'on pourra trouver ici (page 6/49)

$^1.-$ utiles "dès bac-4";

$^2.- $ dont d'aucune fait la promotion à chaque fois qu'elle poste.

$^3.-$ MATH et calcul, cm1, Eiller, Ravenel, 1975, classiques Hachette, p.34 $$(\color{blue}3,\color{red}5\color{black})\to 8$$à propos du lancer par Paul d'un dé bleu et d'un dé rouge.

$^4.-$ Je mets des garde-fous pour éviter de tendre trop de bâtons pour me faire battre.

$^5.-$ Une définition équivalente mais plus simple à comprendre pour un collégien ou pour un lycéen : "une fonction peut se voir comme un ensemble de couples $(x,y)$ dont l'un des termes $x$ est pris dans un ensemble (dit "source": $X$) et l'autre $y$ dans un (autre) ensemble (dit "but":Y), de manière qu'à un terme $x$ de $X$ ne corresponde qu'un seul terme $y$ de $Y$"(André Deledicq, maths LYCEE, éditions de la Cité, 2000) André Deledicq consacrait même, conformément aux programmes français de 1985, un chapitre entier de son MATHS 6è, cedic nathan, à Représenter une fonction. Souci louable des programmes officiels et des enseignants de ne pas jeter le bébé avec l'eau du bain.

$^6.-$ Je me permets de définir la notion de segment qui a la facheuse tendance à ne pas être définie $[a,b]\doteq \{a+t(b-a): 0\leq t\le 1\}$

stfj

Je ne résiste pas à rajouter la fonction distance $d$ sur le plan $\mathcal P$, $$d:\mathcal P\times\mathcal P\to \mathbb R^+$$ $$(x,y)\mapsto d(x,y)$$ telle que $$d(x,y)=d(y,x)$$ $$d(x,y)=0\iff x=y$$ $$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)[\text{ programme de 5è, y compris le cas d'égalité pour une distance euclidienne}]$$ qui permet de munir le plan d'une structure topologique, dont les élèves se moquent comme de l'an 40, même s'ils seraient surpris de savoir qu'elle permet de définir les notions d'intérieur d'un compact qu'ils coloriaient en jaune quand ils étaient fans de couleurs en maternelle, avant de devenir de sérieux apprenants méfiants à l'égard des couleurs.

plsryef

Tiens, voilà une chanson sur les https://www.youtube.com/watch?v=FMrIy9zm7QY ("fonctions", le chanteur ne parle que de ça) et sinon on saura me pardonner cet écart, ou cette "blague" phonétique.

stfj

* leçon 74 de mathématique contemporaine, cm1, programme 1970, chez Magnard, par Thirioux, Gaspari, Mirebeau et Leyrat : I) Table de la loi de composition des rotations; II) Propriétés de la loi de composition des rotations.

Je veux parler bien sûr des applications particulières que sont les lois de composition interne sur un ensemble $E$. Evidemment, je suis comme tout un chacun, horrifié : ils étaient des fous furieux en 1970 !

* Un autre exemple vu en 6è : soit $(\mathcal P,\mathcal D)$ un plan. On considère la fonction $$wedge : \mathcal P\times \mathcal P\to \mathcal D$$ $$(A,B)\mapsto \text{l'unique droite passant par }A\text{ et }B$$si utile en Géométrie élémentaire ainsi que sa fonction "duale".

samok

Pour la fonction de probabilité sur un ensemble infini, j'ajouterais les connecteurs "ou" et "et".

nicolas.patrois

Tu as oublié les transformations du plan et les projections sur une feuille ou un écran.

Math Coss

La troisiè est une classe intéressante, bien plus que la 3e. 

Calembour

Le mot ''fonction'' me parait faire référence davantage à l'analyse plus qu'à l'algèbre. Il y a en effet des domaines de l'analyse telle que ''l'analyse fonctionnelle'' qui emploie explicitement ce mot de ''fonctions''

Le terme application bien qu'également utilisé en analyse me parait plus général

Je regrette que le concept de fonctions ne soit abordé dans le secondaire, essentiellement que pour un usage analytique, sans doute pour les besoin généraux des autres disciplines (physique) qui emploient davantage l'analyse 

Le problème que cela pose est qu'essentiellement les fonctions ''en analyse'' sont souvent définies sur des ensembles complexes tels que R, des espaces vectoriels normés, des espaces de Hilbert etc. et que la compréhension de ces espaces est loin d'être élémentaire.

Rien que l'intuition de R est très complexe pour des lycéens je trouve. Ce n'est pas du tout intuitif que [0,1] est equipotent à R par exemple ou que par exemple ''il y a beaucoup plus d'irrationnels que de rationnels'', ou encore que R a la puissance du continu à la différence de Q, que ce n'est pas le même type d'infini que N ou Q. R est même intuitivement un objet un peu mystérieux au niveau secondaire je trouve. Tout ce qui est continuité, est également je trouve très délicat et pourtant c'est le point d'entrée des élèves sur les fonctions. Même si la définition est comprise (ce dont je doute car la définition rigoureuse de continuité je ne suis pas sûr qu'elle soit au programme), ces notions sont loin d'être intuitive je trouve et le concept ''d'infiniment petit'' et de limite a mis énormément de temps à émerger dans l'histoire des mathématiques

C'est pourquoi, si j'avais la liberté de réformer les programmes en ne prenant en compte que l'intérêt mathématiques (et non les besoins des autres disciplines) je parlerais essentiellement d'ensembles finis et d'applications entre ensembles finis dans le secondaire. Menant naturellement à des questions de dénombrement (coefficients binomiaux, nombres de stirling, nombres d'arrangements), a des probabilités dans les ensembles finis. Cela pourrait se poursuivre notamment avec de la théorie des groupes finis où on pourrait explicitement formuler les ''tables'' des applications et en déduire des résultats.

Le groupe symétrique par exemple peut faire l'objet de belles applications y compris en géométrie

Puis éventuellement aborder les applications entre ensembles dénombrables en particulier N et Z et donc parler d'arithmétique, de divisibilité etc.

Et à la fin seulement peut-être parler de fonctions en analyse donc de fonctions dans des espaces normés, avec des distances et de la continuité

Cela me paraît un programme beaucoup plus logique et intuitif que ce qui se fait déjà et qui serait plus cohérent avec l'histoire des mathématiques

stfj

Bonjour @Calembour,

Aurais-tu des exemples concrets comme j'ai pu en donner dans OP, pour illustrer ton propos ?

Cordialement.

stfj

@nicolas.patrois : bonjour. Oui tu as raison. D'ailleurs, je me demandais : où le vocabulaire "image" est-il plus parlant que pour la fonction symétrie orthogonale ?Et donc ne serait-il pas paradoxal de prétendre transmettre ce vocabulaire ("image") sans en montrer un exemple aussi parlant? 

D'ailleurs, @Calembour, n'est-ce pas ici, une occasion d'éprouver la profonde unité des mathématiques(je te cite : "Ce que j'entends par ''beauté des maths'' c'est cette sensation de liens entre des domaines a priori éloignés ") en associant par exemple l'image de $-7$ par la fonction carrée à l'image de $E$ par $s_{/AB}$ ? 

Quand j'étais collégien, on voyait les notations $$s_{/AB}(E)=E'$$qu'il était alors possible de rapprocher de $$f(-7)\doteq -7\times (-7)=49$$

où $f:x\mapsto x^2$

ou de $$p(\{(3,5),(5,3)\})=\frac{2}{36}$$

ou  de $$d((A,B))\doteq AB=7 cm$$

Cordialement.